CAP. 7: Series

Las series infinitas son sumas de infinitos términos. Son fundamentales en cálculo para representar funciones, aproximar valores y resolver ecuaciones diferenciales. Este capítulo cubre sucesiones, series, convergencia, y series de potencias.

Sucesiones

Teoría

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales. Se denota $\{a_n\}$ o $a_1, a_2, a_3, \ldots$. Una sucesión converge a $L$ si $\lim_{n \to \infty} a_n = L$.

Fórmulas a usar
Definición de sucesión
Una sucesión $\{a_n\}$ es una función $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$
Diagrama:

Gráfica de la sucesión mostrando convergencia a $0$.

Ejemplo:
$a_n = \frac{1}{n}$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$
Convergencia de sucesión
$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ significa que $a_n$ se acerca a $L$ cuando $n$ crece
Diagrama:

Gráfica mostrando la convergencia.

Ejemplo:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$
Ejemplos
Problema:
Determinar si la sucesión $a_n = \frac{n^2}{2n^2+1}$ converge
Diagrama:

Gráfica de la sucesión convergiendo a $\frac{1}{2}$.

Solución:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2n^2+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2+1/n^2} = \frac{1}{2}$. La sucesión converge a $\frac{1}{2}$.

Series infinitas

Teoría

Una serie infinita es la suma de los términos de una sucesión: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$. La suma parcial $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$. La serie converge si $\lim_{n \to \infty} S_n$ existe.

Fórmulas a usar
Definición de serie
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k = \lim_{n \to \infty} S_n$
Diagrama:

Ilustración de sumas parciales convergiendo.

Ejemplo:
Serie geométrica: $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$ si $|r| < 1$
Serie telescópica
Series donde términos se cancelan: $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - a_{n+1}) = a_1 - \lim_{n \to \infty} a_n$
Ejemplo:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1$
Ejemplos
Problema:
Calcular $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$
Diagrama:

Ilustración de la serie geométrica convergente.

Solución:
Esta es una serie geométrica con $a = \frac{1}{2}$ y $r = \frac{1}{2}$. Como $|r| < 1$, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1-1/2} = 1$.

Convergencia y divergencia

Teoría

Una serie converge si la sucesión de sumas parciales converge. Si no converge, diverge. El criterio del término $n$-ésimo establece que si $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, la serie diverge (pero el recíproco no es cierto).

Fórmulas a usar
Criterio del término $n$-ésimo
Si $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, entonces $\sum a_n$ diverge
Diagrama:

Ilustración de la divergencia.

Ejemplo:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$ diverge porque $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0$
Serie armónica
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge aunque $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
Diagrama:

Gráfica mostrando el crecimiento lento pero divergente.

Ejemplo:
La serie armónica es un contraejemplo importante
Ejemplos
Problema:
Determinar si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2+1}$ converge
Diagrama:

Ilustración de la divergencia.

Solución:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1 \neq 0$, entonces por el criterio del término $n$-ésimo, la serie diverge.

Series de términos positivos

Teoría

Para series con términos positivos, hay varios criterios de convergencia: comparación, comparación en el límite, cociente, raíz, e integral. Estos criterios ayudan a determinar convergencia sin calcular la suma.

Fórmulas a usar
Criterio de comparación
Si $0 \leq a_n \leq b_n$ y $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$ converge. Si $\sum a_n$ diverge, entonces $\sum b_n$ diverge.
Diagrama:

Ilustración de la comparación.

Ejemplo:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$ converge porque $\frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2}$ y $\sum \frac{1}{n^2}$ converge
Criterio del cociente
Si $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$, entonces: $L < 1$ implica convergencia, $L > 1$ implica divergencia, $L = 1$ es inconcluso
Ejemplo:
Para $\sum \frac{n!}{n^n}$: $\lim \frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^n} = \lim \frac{1}{(1+1/n)^n} = \frac{1}{e} < 1$, entonces converge
Criterio de la raíz
Si $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$, entonces: $L < 1$ implica convergencia, $L > 1$ implica divergencia, $L = 1$ es inconcluso
Ejemplo:
Para $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$: $\lim \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n} = \lim \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} < 1$, entonces converge
Criterio de la integral
Si $f$ es positiva, continua y decreciente en $[1, \infty)$ y $a_n = f(n)$, entonces $\sum a_n$ converge si y solo si $\int_1^{\infty} f(x)dx$ converge
Diagrama:

Ilustración del criterio de la integral.

Ejemplo:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ converge si $p > 1$ (serie $p$)
Ejemplos
Problema:
Determinar la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3+1}$
Diagrama:

Ilustración de la comparación.

Solución:
Usando comparación: $\frac{1}{n^3+1} < \frac{1}{n^3}$ y $\sum \frac{1}{n^3}$ converge (serie $p$ con $p=3 > 1$), entonces $\sum \frac{1}{n^3+1}$ converge.

Criterios de convergencia

Teoría

Además de los criterios para series de términos positivos, existen criterios específicos para series alternantes y métodos para determinar convergencia absoluta versus condicional.

Fórmulas a usar
Criterio de Leibniz (series alternantes)
Si $a_n > 0$, $a_n$ decrece y $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, entonces $\sum (-1)^n a_n$ converge
Diagrama:

Gráfica de sumas parciales de serie alternante.

Ejemplo:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ converge (serie armónica alternante)
Convergencia absoluta
Si $\sum |a_n|$ converge, entonces $\sum a_n$ converge absolutamente
Ejemplo:
$\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ converge absolutamente porque $\sum \frac{1}{n^2}$ converge
Ejemplos
Problema:
Determinar si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge absolutamente o condicionalmente
Diagrama:

Ilustración de convergencia condicional.

Solución:
$\sum \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right| = \sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge (serie $p$ con $p = 1/2 < 1$). Pero por Leibniz, $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge (condicionalmente).

Series alternantes

Teoría

Las series alternantes son de la forma $\sum (-1)^n a_n$ o $\sum (-1)^{n+1} a_n$ donde $a_n > 0$. El criterio de Leibniz proporciona condiciones suficientes para su convergencia.

Fórmulas a usar
Criterio de Leibniz
Si $\{a_n\}$ es decreciente y $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, entonces $\sum (-1)^n a_n$ converge
Diagrama:

Gráfica mostrando convergencia de serie alternante.

Ejemplo:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ converge porque $\frac{1}{n}$ es decreciente y tiende a $0$
Estimación del error
Si $S = \sum (-1)^n a_n$ converge, entonces $|S - S_n| \leq a_{n+1}$
Ejemplo:
Para $\sum \frac{(-1)^n}{n}$, $|S - S_{100}| \leq \frac{1}{101}$
Ejemplos
Problema:
Estimar $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ con error menor que $0.01$
Diagrama:

Ilustración de la estimación del error.

Solución:
Necesitamos $a_{n+1} < 0.01$, es decir $\frac{1}{(n+1)^2} < 0.01$, entonces $(n+1)^2 > 100$, así $n+1 > 10$, entonces $n \geq 10$. $S_{10} \approx -0.822$ aproxima la suma con error $< 0.01$.

Convergencia absoluta y condicional

Teoría

Una serie converge absolutamente si $\sum |a_n|$ converge. Si $\sum a_n$ converge pero $\sum |a_n|$ diverge, la serie converge condicionalmente. La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria.

Fórmulas a usar
Convergencia absoluta
Si $\sum |a_n|$ converge, entonces $\sum a_n$ converge y se dice absolutamente convergente
Diagrama:

Ilustración de convergencia absoluta.

Ejemplo:
$\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ converge absolutamente
Convergencia condicional
Si $\sum a_n$ converge pero $\sum |a_n|$ diverge, la serie converge condicionalmente
Diagrama:

Ilustración de convergencia condicional.

Ejemplo:
$\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge condicionalmente (serie armónica alternante)
Ejemplos
Problema:
Clasificar $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n\ln(n)}$
Diagrama:

Ilustración de la clasificación.

Solución:
$\sum \left|\frac{(-1)^n}{n\ln(n)}\right| = \sum \frac{1}{n\ln(n)}$ diverge (por criterio de la integral). Por Leibniz, $\sum \frac{(-1)^n}{n\ln(n)}$ converge. Por lo tanto, converge condicionalmente.

Series de potencias

Teoría

Una serie de potencias es de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$ donde $c_n$ son coeficientes y $a$ es el centro. Tiene un radio de convergencia $R$ tal que la serie converge si $|x-a| < R$ y diverge si $|x-a| > R$.

Fórmulas a usar
Serie de potencias
$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$
Diagrama:

Ilustración del intervalo de convergencia.

Ejemplo:
$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}$ para $|x| < 1$
Radio de convergencia
$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$ (si existe) o $R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$
Ejemplo:
Para $\sum \frac{x^n}{n!}$: $R = \lim \frac{1/n!}{1/(n+1)!} = \lim (n+1) = \infty$, entonces converge para todo $x$
Ejemplos
Problema:
Hallar el radio de convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$
Diagrama:

Ilustración del intervalo de convergencia $(-1, 1)$.

Solución:
Usando el criterio del cociente: $\lim \left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right| = |x|\lim \frac{n}{n+1} = |x|$. Converge si $|x| < 1$, entonces $R = 1$.

Serie de Taylor

Teoría

La serie de Taylor de $f$ centrada en $a$ es $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$. Representa $f(x)$ como una serie de potencias en un intervalo alrededor de $a$ donde la serie converge.

Fórmulas a usar
Serie de Taylor
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
Diagrama:

Gráfica de $e^x$ y aproximaciones por polinomios de Taylor.

Ejemplo:
Para $f(x) = e^x$ en $a=0$: $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
Polinomio de Taylor de grado $n$
$T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
Ejemplo:
$T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$ para $e^x$
Ejemplos
Problema:
Hallar la serie de Taylor de $f(x) = \frac{1}{1-x}$ centrada en $a=0$
Diagrama:

Gráfica de $\frac{1}{1-x}$ y su serie de Taylor.

Solución:
$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$, entonces $f^{(n)}(0) = n!$. Serie: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ para $|x| < 1$.

Serie de Maclaurin

Teoría

La serie de Maclaurin es la serie de Taylor centrada en $a=0$: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$. Muchas funciones elementales tienen series de Maclaurin conocidas.

Fórmulas a usar
Serie de Maclaurin
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
Diagrama:

Gráfica de $\cos(x)$ y aproximaciones por polinomios de Maclaurin.

Ejemplo:
$\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
Series importantes de Maclaurin
$\sen(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$
Ejemplo:
$\sen(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ para todo $x$
Ejemplos
Problema:
Usar la serie de Maclaurin para aproximar $\ln(1.1)$
Diagrama:

Ilustración de la aproximación.

Solución:
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$. Con $x=0.1$: $\ln(1.1) \approx 0.1 - \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{3} - \frac{0.0001}{4} \approx 0.0953$.

Derivación e integración de series

Teoría

Las series de potencias pueden derivarse e integrarse término a término dentro de su intervalo de convergencia. Esto permite encontrar nuevas series a partir de series conocidas.

Fórmulas a usar
Derivación término a término
Si $f(x) = \sum c_n (x-a)^n$ tiene radio $R$, entonces $f'(x) = \sum n c_n (x-a)^{n-1}$ también tiene radio $R$
Diagrama:

Ilustración de la derivación término a término.

Ejemplo:
Derivando $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$: $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum n x^{n-1}$
Integración término a término
Si $f(x) = \sum c_n (x-a)^n$ tiene radio $R$, entonces $\int f(x)dx = C + \sum \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$ también tiene radio $R$
Diagrama:

Ilustración de la integración término a término.

Ejemplo:
Integrando $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$: $-\ln(1-x) = \sum \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$
Ejemplos
Problema:
Hallar la serie de $\arctan(x)$ integrando término a término
Diagrama:

Gráfica de $\arctan(x)$ y su serie.

Solución:
Como $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$ para $|x| < 1$, integrando: $\arctan(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ para $|x| < 1$.

Consejos de Estudio

  • Las sucesiones son funciones discretas; las series son sumas infinitas
  • El criterio del término $n$-ésimo solo prueba divergencia, no convergencia
  • Para series de términos positivos, usa comparación, cociente, raíz o integral
  • Las series alternantes requieren el criterio de Leibniz
  • Convergencia absoluta es más fuerte que convergencia condicional
  • Las series de potencias tienen un radio de convergencia
  • Las series de Taylor representan funciones como series infinitas
  • Puedes derivar e integrar series de potencias término a término
Calculo_1
CAP. 1: Funciones
CAP. 2: Límites y Continuidad
CAP. 3: Derivación
CAP. 4: Aplicaciones de la Derivada
CAP. 5: Integrales
CAP. 6: Aplicaciones de la...
CAP. 7: Series
Sucesiones Series infinitas Convergencia y divergencia Series de términos positivos Criterios de convergencia Series alternantes Convergencia absoluta y condicional Series de potencias Serie de Taylor Serie de Maclaurin Derivación e integración de series
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