CAP. 3: Derivación

La derivada es uno de los conceptos fundamentales del cálculo. Mide la tasa de cambio instantánea de una función y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto. Este capítulo cubre la definición, interpretación geométrica, reglas de derivación y técnicas avanzadas.

Definición de derivada

Teoría

La derivada de una función $f$ en un punto $a$ se define como el límite del cociente incremental: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ si este límite existe. También se puede escribir como $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Si la derivada existe en todos los puntos de un intervalo, decimos que $f$ es derivable en ese intervalo.

Fórmulas a usar

Definición de derivada

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Diagrama:

Gráfica mostrando la recta secante que se aproxima a la recta tangente cuando $h \to 0$.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$ en $x=3$: $f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2-9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6+h) = 6$

Función derivada

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^2$ y su derivada $f'(x) = 2x$.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$

Ejemplos

Problema:

Usar la definición para encontrar $f'(x)$ si $f(x) = \sqrt{x}$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = \sqrt{x}$ y su derivada $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Solución:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ para $x > 0$.

Interpretación geométrica

Teoría

Geométricamente, la derivada $f'(a)$ representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$. La recta tangente es el límite de las rectas secantes cuando el segundo punto se acerca al primero. La ecuación de la recta tangente es $y - f(a) = f'(a)(x-a)$.

Fórmulas a usar

Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente en $(a, f(a))$ es $f'(a)$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^2$ con la recta tangente en $x=1$ de pendiente $2$.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$ en $x=1$, la pendiente es $f'(1) = 2(1) = 2$

Ecuación de la recta tangente

$y - f(a) = f'(a)(x-a)$ o $y = f(a) + f'(a)(x-a)$

Diagrama:

Gráfica mostrando la función y su recta tangente.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$ en $x=1$: $y - 1 = 2(x-1)$, es decir $y = 2x - 1$

Recta normal

La recta normal es perpendicular a la tangente: $y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)$ si $f'(a) \neq 0$

Diagrama:

Gráfica mostrando la recta tangente y la recta normal.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$ en $x=1$: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x-1)$, es decir $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

Ejemplos

Problema:

Hallar la ecuación de la recta tangente a $f(x) = x^3 - 2x$ en $x=1$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^3-2x$ con su recta tangente en $x=1$.

Solución:

$f(1) = 1-2 = -1$. $f'(x) = 3x^2-2$, entonces $f'(1) = 3-2 = 1$. La ecuación es $y - (-1) = 1(x-1)$, es decir $y = x - 2$.

Reglas de derivación

Teoría

Las reglas de derivación permiten calcular derivadas de funciones combinadas sin usar la definición cada vez. Incluyen reglas para suma, resta, producto, cociente y composición de funciones.

Fórmulas a usar

Derivada de constante

$\frac{d}{dx}(c) = 0$ donde $c$ es constante

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}(5) = 0$

Derivada de $x^n$

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ (regla de la potencia)

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$, $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Derivada de suma/diferencia

$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 - 5x) = 3x^2 + 4x - 5$

Derivada de producto

$\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ (regla del producto)

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}(x^2 \cdot \sen(x)) = 2x\sen(x) + x^2\cos(x)$

Derivada de cociente

$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ (regla del cociente)

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x+1}\right) = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$

Ejemplos

Problema:

Derivar $f(x) = (x^2+1)(x^3-2x)$

Diagrama:

Ilustración de la aplicación de la regla del producto.

Solución:

Usando la regla del producto: $f'(x) = (2x)(x^3-2x) + (x^2+1)(3x^2-2) = 2x^4-4x^2 + 3x^4-2x^2+3x^2-2 = 5x^4-3x^2-2$.

Derivadas de funciones elementales

Teoría

Las funciones elementales (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas) tienen derivadas específicas que deben memorizarse. Estas derivadas son fundamentales para derivar funciones más complejas.

Fórmulas a usar

Derivadas trigonométricas

$\frac{d}{dx}(\sen(x)) = \cos(x)$, $\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sen(x)$, $\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}(\sen(3x)) = 3\cos(3x)$ (usando regla de la cadena)

Derivada de exponencial

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$, $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a)$

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln(2)$

Derivada de logaritmo

$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$, $\frac{d}{dx}(\log_a(x)) = \frac{1}{x\ln(a)}$

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}(\log_3(x)) = \frac{1}{x\ln(3)}$

Derivadas hiperbólicas

$\frac{d}{dx}(\senh(x)) = \cosh(x)$, $\frac{d}{dx}(\cosh(x)) = \senh(x)$, $\frac{d}{dx}(\tanh(x)) = \sech^2(x)$

Ejemplo:

$\frac{d}{dx}(\cosh(2x)) = 2\senh(2x)$

Ejemplos

Problema:

Derivar $f(x) = e^x \sen(x)$

Diagrama:

Ilustración de la derivada de la función.

Solución:

Usando la regla del producto: $f'(x) = e^x \sen(x) + e^x \cos(x) = e^x(\sen(x) + \cos(x))$.

Regla de la cadena

Teoría

La regla de la cadena permite derivar funciones compuestas. Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, entonces $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$. Esta es una de las reglas más importantes del cálculo diferencial.

Fórmulas a usar

Regla de la cadena

Si $y = f(g(x))$, entonces $\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Diagrama:

Diagrama mostrando la composición de funciones y la aplicación de la regla de la cadena.

Ejemplo:

Para $f(x) = (x^2+1)^3$, sea $u = x^2+1$, entonces $f'(x) = 3u^2 \cdot 2x = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2$

Notación de Leibniz

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Ejemplo:

Para $y = \sen(x^2)$, $\frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$

Ejemplos

Problema:

Derivar $f(x) = \sqrt{x^2+3x+1}$

Diagrama:

Ilustración de la aplicación de la regla de la cadena.

Solución:

Escribiendo $f(x) = (x^2+3x+1)^{1/2}$, usando regla de la cadena: $f'(x) = \frac{1}{2}(x^2+3x+1)^{-1/2} \cdot (2x+3) = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x+1}}$.

Derivación implícita

Teoría

La derivación implícita se usa cuando una función está definida implícitamente por una ecuación que relaciona $x$ e $y$, en lugar de tener una fórmula explícita $y = f(x)$. Derivamos ambos lados de la ecuación respecto a $x$, tratando $y$ como función de $x$ y usando la regla de la cadena.

Fórmulas a usar

Derivación implícita

Dada $F(x,y) = 0$, derivamos respecto a $x$: $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Diagrama:

Círculo $x^2+y^2=25$ con rectas tangentes en varios puntos.

Ejemplo:

Para $x^2 + y^2 = 25$: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$, entonces $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Ejemplos

Problema:

Hallar $\frac{dy}{dx}$ si $x^3 + y^3 = 6xy$

Diagrama:

Gráfica de la curva implícita con rectas tangentes.

Solución:

Derivando implícitamente: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$. Despejando: $3y^2\frac{dy}{dx} - 6x\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$, entonces $\frac{dy}{dx}(3y^2-6x) = 6y-3x^2$, por lo tanto $\frac{dy}{dx} = \frac{6y-3x^2}{3y^2-6x} = \frac{2y-x^2}{y^2-2x}$.

Derivación paramétrica

Teoría

Cuando una curva está definida paramétricamente por $x = f(t)$ e $y = g(t)$, la derivada $\frac{dy}{dx}$ se calcula como $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$ siempre que $f'(t) \neq 0$.

Fórmulas a usar

Derivada paramétrica

Si $x = f(t)$ e $y = g(t)$, entonces $\frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$

Diagrama:

Curva paramétrica con indicación de la derivada en varios puntos.

Ejemplo:

Para $x = t^2$, $y = t^3$: $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$ para $t \neq 0$

Segunda derivada paramétrica

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) / \frac{dx}{dt}$

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{3t}{2}\right) / 2t = \frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}$

Ejemplos

Problema:

Hallar $\frac{dy}{dx}$ y $\frac{d^2y}{dx^2}$ para $x = \cos(t)$, $y = \sen(t)$

Diagrama:

Círculo paramétrico con indicación de derivadas.

Solución:

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(t)}{-\sen(t)} = -\cot(t)$. $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(-\cot(t)) / (-\sen(t)) = \frac{\csc^2(t)}{-\sen(t)} = -\csc^3(t)$.

Derivadas de orden superior

Teoría

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada: $f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]$. Las derivadas de orden superior se definen recursivamente. La segunda derivada mide la concavidad de la función y la aceleración en contextos físicos.

Fórmulas a usar

Segunda derivada

$f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left[\frac{df}{dx}\right]$

Diagrama:

Gráfica de $f$, $f'$ y $f''$ mostrando sus relaciones.

Ejemplo:

Si $f(x) = x^4$, entonces $f'(x) = 4x^3$ y $f''(x) = 12x^2$

Derivada de orden $n$

$f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n} = \frac{d}{dx}[f^{(n-1)}(x)]$

Ejemplo:

Para $f(x) = e^x$, todas las derivadas son $e^x$: $f^{(n)}(x) = e^x$ para todo $n$

Ejemplos

Problema:

Hallar $f'''(x)$ si $f(x) = x^5 + 3x^3 - 2x$

Diagrama:

Gráficas de las derivadas sucesivas.

Solución:

$f'(x) = 5x^4 + 9x^2 - 2$, $f''(x) = 20x^3 + 18x$, $f'''(x) = 60x^2 + 18$.

Derivadas laterales

Teoría

Las derivadas laterales se definen como límites laterales del cociente incremental. La derivada por la izquierda es $f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ y la derivada por la derecha es $f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Una función es derivable en $a$ si ambas derivadas laterales existen y son iguales.

Fórmulas a usar

Derivada por la izquierda

$f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Diagrama:

Gráfica de $|x|$ mostrando que no es derivable en $x=0$.

Ejemplo:

Para $f(x) = |x|$ en $x=0$: $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

Derivada por la derecha

$f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Ejemplo:

Para $f(x) = |x|$ en $x=0$: $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$

Ejemplos

Problema:

Determinar si $f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 2x-1 & x \geq 1 \end{cases}$ es derivable en $x=1$

Diagrama:

Gráfica de la función mostrando que es derivable en $x=1$.

Solución:

$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h)^2-1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h+h^2}{h} = 2$. $f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(1+h)-1-1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$. Como $f'_-(1) = f'_+(1) = 2$, la función es derivable en $x=1$ y $f'(1) = 2$.

Diferenciales

Teoría

El diferencial $dy$ de una función $y = f(x)$ se define como $dy = f'(x)dx$, donde $dx$ es un incremento arbitrario en $x$. El diferencial proporciona una aproximación lineal del cambio en $y$ cuando $x$ cambia en $dx$. Si $\Delta x$ es pequeño, entonces $\Delta y \approx dy = f'(x)\Delta x$.

Fórmulas a usar

Definición de diferencial

$dy = f'(x)dx$ donde $dx$ es el diferencial de $x$

Diagrama:

Gráfica mostrando $\Delta y$ y $dy$ para una función.

Ejemplo:

Si $y = x^2$, entonces $dy = 2x dx$

Aproximación lineal

$f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x$

Diagrama:

Ilustración de la aproximación lineal usando la recta tangente.

Ejemplo:

Para $f(x) = \sqrt{x}$ cerca de $x=4$: $\sqrt{4.1} \approx \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(0.1) = 2 + 0.025 = 2.025$

Ejemplos

Problema:

Usar diferenciales para aproximar $\sqrt{99}$

Diagrama:

Ilustración de la aproximación usando diferenciales.

Solución:

Sea $f(x) = \sqrt{x}$, $x = 100$, $\Delta x = -1$. $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, entonces $f'(100) = \frac{1}{20} = 0.05$. $\sqrt{99} \approx \sqrt{100} + 0.05(-1) = 10 - 0.05 = 9.95$. El valor real es aproximadamente $9.9499$, así que la aproximación es buena.

Consejos de Estudio

La derivada representa la tasa de cambio instantánea y la pendiente de la recta tangente
Memoriza las derivadas de funciones elementales (trigonométricas, exponenciales, logarítmicas)
La regla de la cadena es esencial para derivar funciones compuestas
En derivación implícita, trata $y$ como función de $x$ y usa la regla de la cadena
La segunda derivada indica concavidad: positiva = cóncava hacia arriba, negativa = cóncava hacia abajo
Los diferenciales proporcionan aproximaciones lineales útiles
Practica derivando funciones complejas combinando todas las reglas