CAP. 5: Integrales

La integración es el proceso inverso de la derivación. Las integrales permiten calcular áreas, volúmenes, longitudes de curvas y muchas otras cantidades. Este capítulo cubre integrales indefinidas y definidas, el teorema fundamental del cálculo, y técnicas de integración.

Integral indefinida

Teoría

La integral indefinida de $f(x)$ es la familia de todas las antiderivadas de $f$: $\int f(x)dx = F(x) + C$ donde $F'(x) = f(x)$ y $C$ es la constante de integración. La integración es el proceso inverso de la derivación.

Fórmulas a usar
Definición de integral indefinida
$\int f(x)dx = F(x) + C$ donde $F'(x) = f(x)$
Diagrama:

Gráfica mostrando la familia de antiderivadas (parábolas desplazadas verticalmente).

Ejemplo:
$\int 2x dx = x^2 + C$ porque $\frac{d}{dx}(x^2 + C) = 2x$
Integral de una constante
$\int k dx = kx + C$
Ejemplo:
$\int 5 dx = 5x + C$
Regla de la potencia
$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \neq -1$
Ejemplo:
$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$
Ejemplos
Problema:
Calcular $\int (3x^2 + 2x - 1) dx$
Diagrama:

Ilustración de la integración término por término.

Solución:
$\int (3x^2 + 2x - 1) dx = 3\int x^2 dx + 2\int x dx - \int dx = 3\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + x^2 - x + C$.

Integral definida

Teoría

La integral definida $\int_a^b f(x)dx$ representa el área neta bajo la curva $y = f(x)$ desde $x=a$ hasta $x=b$. Si $f(x) \geq 0$, representa el área. Si $f(x) < 0$ en algunos intervalos, resta área. Se calcula usando el teorema fundamental del cálculo.

Fórmulas a usar
Definición de integral definida
$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x$ donde $\Delta x = \frac{b-a}{n}$
Diagrama:

Ilustración de sumas de Riemann aproximando el área bajo la curva.

Ejemplo:
La integral definida es el límite de sumas de Riemann
Teorema fundamental del cálculo (parte 1)
Si $F(x) = \int_a^x f(t)dt$, entonces $F'(x) = f(x)$
Ejemplo:
Si $F(x) = \int_0^x t^2 dt$, entonces $F'(x) = x^2$
Teorema fundamental del cálculo (parte 2)
Si $F$ es antiderivada de $f$ en $[a,b]$, entonces $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b$
Diagrama:

Gráfica mostrando el área calculada por la integral definida.

Ejemplo:
$\int_1^3 x^2 dx = \frac{x^3}{3}|_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$
Ejemplos
Problema:
Calcular $\int_0^2 (x^2 + 1) dx$
Diagrama:

Gráfica de $y = x^2+1$ mostrando el área desde $x=0$ hasta $x=2$.

Solución:
$\int_0^2 (x^2 + 1) dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)|_0^2 = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - 0 = \frac{14}{3}$.

Teorema fundamental del cálculo

Teoría

El teorema fundamental del cálculo conecta la derivación y la integración. Establece que la derivada de la integral de una función es la función original, y que la integral definida puede calcularse usando antiderivadas.

Fórmulas a usar
TFC parte 1 (derivada de integral)
$\frac{d}{dx}\left[\int_a^x f(t)dt\right] = f(x)$
Diagrama:

Ilustración del TFC parte 1.

Ejemplo:
$\frac{d}{dx}\left[\int_0^x \cos(t)dt\right] = \cos(x)$
TFC parte 2 (cálculo de integrales)
$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ donde $F' = f$
Diagrama:

Gráfica de $\sen(x)$ mostrando el área calculada.

Ejemplo:
$\int_0^{\pi} \sen(x)dx = -\cos(x)|_0^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2$
Ejemplos
Problema:
Usar el TFC para calcular $\frac{d}{dx}\left[\int_1^x \frac{1}{t}dt\right]$
Diagrama:

Ilustración de la derivada de la integral.

Solución:
Por el TFC parte 1: $\frac{d}{dx}\left[\int_1^x \frac{1}{t}dt\right] = \frac{1}{x}$. Nota: $\int_1^x \frac{1}{t}dt = \ln(x)$.

Sustitución

Teoría

La técnica de sustitución (o cambio de variable) es análoga a la regla de la cadena para derivadas. Si $u = g(x)$, entonces $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$. Esta técnica simplifica muchas integrales.

Fórmulas a usar
Método de sustitución
Si $u = g(x)$, entonces $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$
Diagrama:

Ilustración del cambio de variable.

Ejemplo:
Para $\int 2x\cos(x^2)dx$, sea $u = x^2$, entonces $du = 2x dx$, así $\int \cos(u)du = \sen(u) + C = \sen(x^2) + C$
Ejemplos
Problema:
Calcular $\int x\sqrt{x^2+1} dx$
Diagrama:

Ilustración de la sustitución.

Solución:
Sea $u = x^2+1$, entonces $du = 2x dx$, así $x dx = \frac{du}{2}$. $\int x\sqrt{x^2+1} dx = \int \sqrt{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/2}du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$.

Integración por partes

Teoría

La integración por partes es análoga a la regla del producto para derivadas. Se usa cuando la integral es un producto de funciones donde una es fácil de derivar y la otra fácil de integrar.

Fórmulas a usar
Fórmula de integración por partes
$\int u dv = uv - \int v du$
Diagrama:

Ilustración de la integración por partes.

Ejemplo:
Para $\int x e^x dx$, sea $u = x$, $dv = e^x dx$, entonces $du = dx$, $v = e^x$. $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$
Regla LIATE
Orden de preferencia para elegir $u$: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales
Ejemplo:
En $\int x \ln(x) dx$, elegir $u = \ln(x)$ (logarítmica) y $dv = x dx$
Ejemplos
Problema:
Calcular $\int x^2 \cos(x) dx$
Diagrama:

Ilustración de la aplicación repetida de integración por partes.

Solución:
Sea $u = x^2$, $dv = \cos(x) dx$, entonces $du = 2x dx$, $v = \sen(x)$. $\int x^2 \cos(x) dx = x^2 \sen(x) - \int 2x \sen(x) dx$. Aplicando de nuevo: $u = 2x$, $dv = \sen(x) dx$, entonces $du = 2 dx$, $v = -\cos(x)$. Resultado: $x^2 \sen(x) - [-2x\cos(x) - \int -2\cos(x) dx] = x^2 \sen(x) + 2x\cos(x) - 2\sen(x) + C$.

Integrales trigonométricas

Teoría

Las integrales que involucran funciones trigonométricas requieren técnicas especiales. Se usan identidades trigonométricas para simplificar las integrales antes de integrar.

Fórmulas a usar
Integrales de potencias de seno y coseno
Para $\int \sen^m(x)\cos^n(x)dx$, usar identidades según paridad de $m$ y $n$
Diagrama:

Ilustración de la técnica.

Ejemplo:
$\int \sen^2(x)\cos(x)dx = \int u^2 du$ con $u = \sen(x)$, resultado $\frac{\sen^3(x)}{3} + C$
Integrales de potencias de tangente y secante
Usar identidades $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$ y $\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)$
Ejemplo:
$\int \tan^2(x)dx = \int (\sec^2(x) - 1)dx = \tan(x) - x + C$
Ejemplos
Problema:
Calcular $\int \sen^3(x)\cos^2(x) dx$
Diagrama:

Ilustración de la técnica.

Solución:
$\int \sen^3(x)\cos^2(x) dx = \int \sen(x)(1-\cos^2(x))\cos^2(x) dx = \int (\cos^2(x) - \cos^4(x))\sen(x) dx$. Con $u = \cos(x)$: $\int (u^2 - u^4)(-du) = -\frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^3(x)}{3} + \frac{\cos^5(x)}{5} + C$.

Fracciones parciales

Teoría

La descomposición en fracciones parciales permite integrar funciones racionales expresándolas como suma de fracciones más simples. Se usa cuando el grado del numerador es menor que el del denominador.

Fórmulas a usar
Descomposición en fracciones parciales
Si $\frac{P(x)}{Q(x)}$ es propia, se descompone según factores de $Q(x)$
Diagrama:

Ilustración de la descomposición.

Ejemplo:
$\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$ donde $A = \frac{1}{3}$, $B = -\frac{1}{3}$
Ejemplos
Problema:
Calcular $\int \frac{x+1}{x^2-4} dx$
Diagrama:

Ilustración de la descomposición.

Solución:
$\frac{x+1}{x^2-4} = \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$. Resolviendo: $A = \frac{3}{4}$, $B = -\frac{1}{4}$. $\int \frac{x+1}{x^2-4} dx = \frac{3}{4}\ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x+2| + C$.

Sustitución trigonométrica

Teoría

La sustitución trigonométrica se usa para integrar expresiones que contienen $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$ o $\sqrt{x^2-a^2}$. Se hace un cambio de variable usando funciones trigonométricas.

Fórmulas a usar
Sustituciones trigonométricas
Para $\sqrt{a^2-x^2}$: $x = a\sen(\theta)$. Para $\sqrt{a^2+x^2}$: $x = a\tan(\theta)$. Para $\sqrt{x^2-a^2}$: $x = a\sec(\theta)$
Diagrama:

Triángulo rectángulo mostrando la sustitución trigonométrica.

Ejemplo:
Para $\int \sqrt{4-x^2}dx$, sea $x = 2\sen(\theta)$, entonces $dx = 2\cos(\theta)d\theta$ y $\sqrt{4-x^2} = 2\cos(\theta)$
Ejemplos
Problema:
Calcular $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$
Diagrama:

Triángulo rectángulo para la sustitución.

Solución:
Sea $x = 3\tan(\theta)$, entonces $dx = 3\sec^2(\theta)d\theta$ y $\sqrt{x^2+9} = 3\sec(\theta)$. $\int \frac{3\sec^2(\theta)}{3\sec(\theta)}d\theta = \int \sec(\theta)d\theta = \ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)| + C = \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+9}}{3} + \frac{x}{3}\right| + C$.

Integración binómica

Teoría

Las integrales de la forma $\int x^m(a+bx^n)^p dx$ se llaman integrales binómicas. Solo son integrables en términos elementales para ciertos valores de $m$, $n$ y $p$ (criterio de Chebyshev).

Fórmulas a usar
Integral binómica
$\int x^m(a+bx^n)^p dx$ es integrable elementalmente si $\frac{m+1}{n}$ o $\frac{m+1}{n} + p$ es entero
Diagrama:

Ilustración de la técnica.

Ejemplo:
Para $\int x^2(1+x^3)^{1/2}dx$, $m=2$, $n=3$, $p=1/2$. $\frac{m+1}{n} = 1$ (entero), entonces es integrable
Ejemplos
Problema:
Calcular $\int x^3(1+x^2)^{-3/2}dx$
Diagrama:

Ilustración de la técnica.

Solución:
Sea $u = 1+x^2$, entonces $du = 2x dx$ y $x^2 = u-1$. $\int x^3(1+x^2)^{-3/2}dx = \frac{1}{2}\int (u-1)u^{-3/2}du = \frac{1}{2}\int (u^{-1/2} - u^{-3/2})du = \sqrt{u} + \frac{1}{\sqrt{u}} + C = \sqrt{1+x^2} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + C$.

Consejos de Estudio

  • La integración es el proceso inverso de la derivación
  • La constante de integración $C$ es esencial en integrales indefinidas
  • El TFC conecta derivación e integración
  • La sustitución es la técnica más común; identifica el patrón $f(g(x))g'(x)$
  • Para integración por partes, usa LIATE para elegir $u$
  • En fracciones parciales, el grado del numerador debe ser menor que el del denominador
  • La sustitución trigonométrica requiere memorizar los triángulos de referencia
  • Practica identificando qué técnica usar en cada caso
Calculo_1
CAP. 1: Funciones
CAP. 2: Límites y Continuidad
CAP. 3: Derivación
CAP. 4: Aplicaciones de la Derivada
CAP. 5: Integrales
Integral indefinida Integral definida Teorema fundamental del cálculo Sustitución Integración por partes Integrales trigonométricas Fracciones parciales Sustitución trigonométrica Integración binómica
CAP. 6: Aplicaciones de la...
CAP. 7: Series
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