CAP. 4: Aplicaciones de la Derivada

Las derivadas tienen numerosas aplicaciones prácticas: encontrar rectas tangentes y normales, determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, localizar extremos, analizar concavidad, trazar gráficas y resolver problemas de optimización. Este capítulo cubre todas estas aplicaciones fundamentales.

Recta tangente y normal

Teoría

La recta tangente a una curva en un punto es la mejor aproximación lineal de la curva en ese punto. Su pendiente es la derivada de la función. La recta normal es perpendicular a la tangente.

Fórmulas a usar

Ecuación de la recta tangente

$y - f(a) = f'(a)(x-a)$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^2$ con su recta tangente en $x=2$.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$ en $x=2$: $y - 4 = 4(x-2)$, es decir $y = 4x - 4$

Ecuación de la recta normal

$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)$ si $f'(a) \neq 0$

Diagrama:

Gráfica mostrando la recta tangente y la recta normal.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$ en $x=2$: $y - 4 = -\frac{1}{4}(x-2)$, es decir $y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{2}$

Ejemplos

Problema:

Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a $f(x) = x^3 - 3x$ en $x=1$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^3-3x$ con recta tangente horizontal y normal vertical en $x=1$.

Solución:

$f(1) = -2$, $f'(x) = 3x^2-3$, entonces $f'(1) = 0$. La recta tangente es horizontal: $y = -2$. La recta normal es vertical: $x = 1$.

Teorema de Rolle

Teoría

Si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$. Este teorema garantiza la existencia de al menos un punto donde la tangente es horizontal.

Fórmulas a usar

Teorema de Rolle

Si $f$ continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a) = f(b)$, entonces $\exists c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^2-4x+3$ mostrando el punto $c=2$ donde $f'(c) = 0$.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2-4x+3$ en $[1,3]$: $f(1) = f(3) = 0$, entonces existe $c \in (1,3)$ tal que $f'(c) = 0$. Como $f'(x) = 2x-4$, tenemos $2c-4 = 0$, entonces $c = 2$.

Ejemplos

Problema:

Verificar el teorema de Rolle para $f(x) = \sen(x)$ en $[0, \pi]$

Diagrama:

Gráfica de $\sen(x)$ en $[0, \pi]$ mostrando el punto $c = \frac{\pi}{2}$.

Solución:

$f$ es continua y derivable en $\mathbb{R}$, y $f(0) = f(\pi) = 0$. Entonces existe $c \in (0, \pi)$ tal que $f'(c) = 0$. Como $f'(x) = \cos(x)$, tenemos $\cos(c) = 0$, entonces $c = \frac{\pi}{2}$.

Teorema del valor medio

Teoría

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Este teorema relaciona la tasa de cambio promedio con la tasa de cambio instantánea.

Fórmulas a usar

Teorema del valor medio (TVM)

Si $f$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, entonces $\exists c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^2$ con la recta secante y la recta tangente en $c=2$.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$ en $[1,3]$: $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4$. Como $f'(x) = 2x$, tenemos $2c = 4$, entonces $c = 2$.

Ejemplos

Problema:

Aplicar el TVM a $f(x) = x^3$ en $[0,2]$

Diagrama:

Ilustración del TVM para $f(x) = x^3$.

Solución:

$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{8-0}{2} = 4$. Como $f'(x) = 3x^2$, tenemos $3c^2 = 4$, entonces $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$.

Funciones crecientes y decrecientes

Teoría

Una función es creciente en un intervalo si $f'(x) > 0$ para todo $x$ en ese intervalo, y es decreciente si $f'(x) < 0$. Los puntos donde $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no existe son puntos críticos que pueden separar intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Fórmulas a usar

Criterio de crecimiento

Si $f'(x) > 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es creciente en $[a,b]$

Diagrama:

Gráfica mostrando intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x > 0$ si $x > 0$, entonces $f$ es creciente en $[0, +\infty)$

Criterio de decrecimiento

Si $f'(x) < 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es decreciente en $[a,b]$

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x < 0$ si $x < 0$, entonces $f$ es decreciente en $(-\infty, 0]$

Ejemplos

Problema:

Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x) = x^3 - 3x^2$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^3-3x^2$ mostrando los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Solución:

$f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2)$. Puntos críticos: $x=0$ y $x=2$. Si $x < 0$, $f'(x) > 0$ (creciente). Si $0 < x < 2$, $f'(x) < 0$ (decreciente). Si $x > 2$, $f'(x) > 0$ (creciente).

Concavidad y convexidad

Teoría

La concavidad se determina por la segunda derivada. Si $f''(x) > 0$, la función es cóncava hacia arriba (convexa). Si $f''(x) < 0$, es cóncava hacia abajo. Los puntos donde cambia la concavidad son puntos de inflexión.

Fórmulas a usar

Criterio de concavidad

Si $f''(x) > 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es cóncava hacia arriba en $[a,b]$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^2$ mostrando concavidad hacia arriba.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$, $f''(x) = 2 > 0$ para todo $x$, entonces $f$ es siempre cóncava hacia arriba

Criterio de convexidad

Si $f''(x) < 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es cóncava hacia abajo en $[a,b]$

Ejemplo:

Para $f(x) = -x^2$, $f''(x) = -2 < 0$ para todo $x$, entonces $f$ es siempre cóncava hacia abajo

Ejemplos

Problema:

Analizar la concavidad de $f(x) = x^4 - 6x^2$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^4-6x^2$ mostrando cambios de concavidad.

Solución:

$f'(x) = 4x^3-12x$, $f''(x) = 12x^2-12 = 12(x^2-1) = 12(x-1)(x+1)$. $f''(x) > 0$ si $x < -1$ o $x > 1$ (cóncava hacia arriba). $f''(x) < 0$ si $-1 < x < 1$ (cóncava hacia abajo). Puntos de inflexión en $x = \pm 1$.

Punto de inflexión

Teoría

Un punto de inflexión es un punto donde la gráfica cambia de concavidad. En un punto de inflexión, $f''(x) = 0$ o $f''(x)$ no existe. Sin embargo, no todos los puntos donde $f''(x) = 0$ son puntos de inflexión.

Fórmulas a usar

Definición de punto de inflexión

$(a, f(a))$ es punto de inflexión si $f''$ cambia de signo en $x=a$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^3$ mostrando el punto de inflexión en el origen.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^3$, $f''(x) = 6x$. $f''(x) < 0$ si $x < 0$ y $f''(x) > 0$ si $x > 0$, entonces $(0, 0)$ es punto de inflexión

Ejemplos

Problema:

Hallar los puntos de inflexión de $f(x) = x^5 - 5x^3$

Diagrama:

Gráfica mostrando los puntos de inflexión.

Solución:

$f''(x) = 20x^3-30x = 10x(2x^2-3) = 10x(\sqrt{2}x-\sqrt{3})(\sqrt{2}x+\sqrt{3})$. Puntos críticos: $x = 0, \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$. Verificando cambios de signo: hay puntos de inflexión en $x = 0$ y $x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Máximos y mínimos

Teoría

Un máximo local (relativo) ocurre en $x=a$ si $f(a) \geq f(x)$ para todo $x$ cerca de $a$. Un mínimo local ocurre si $f(a) \leq f(x)$ para todo $x$ cerca de $a$. Los extremos locales ocurren en puntos críticos: donde $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no existe.

Fórmulas a usar

Punto crítico

$x=a$ es punto crítico si $f'(a) = 0$ o $f'(a)$ no existe

Diagrama:

Gráfica mostrando puntos críticos y extremos.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x = 0$ cuando $x=0$, entonces $x=0$ es punto crítico

Criterio de la primera derivada

Si $f'$ cambia de positivo a negativo en $x=a$, entonces $f$ tiene máximo local en $a$. Si cambia de negativo a positivo, tiene mínimo local.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$, $f'(x) < 0$ si $x < 0$ y $f'(x) > 0$ si $x > 0$, entonces $f$ tiene mínimo local en $x=0$

Criterio de la segunda derivada

Si $f'(a) = 0$ y $f''(a) < 0$, entonces $f$ tiene máximo local en $a$. Si $f''(a) > 0$, tiene mínimo local.

Ejemplo:

Para $f(x) = -x^2$, $f'(0) = 0$ y $f''(0) = -2 < 0$, entonces $f$ tiene máximo local en $x=0$

Ejemplos

Problema:

Hallar los extremos locales de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^3-3x^2+2$ mostrando el máximo y mínimo locales.

Solución:

$f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2) = 0$ cuando $x=0$ o $x=2$. $f''(x) = 6x-6$. $f''(0) = -6 < 0$, entonces máximo local en $x=0$ con $f(0) = 2$. $f''(2) = 6 > 0$, entonces mínimo local en $x=2$ con $f(2) = -2$.

Criterios de derivadas

Teoría

Los criterios de derivadas permiten clasificar puntos críticos y determinar extremos sin necesidad de graficar. El criterio de la primera derivada analiza cambios de signo, mientras que el criterio de la segunda derivada usa el valor de la segunda derivada en el punto crítico.

Fórmulas a usar

Criterio de la primera derivada (resumen)

Si $f'$ cambia de $+$ a $-$ en $x=a$: máximo local. Si cambia de $-$ a $+$: mínimo local. Si no cambia: punto de silla.

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^3$ mostrando el punto de silla.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$ no cambia de signo en $x=0$ (siempre positivo excepto en $0$), entonces $x=0$ es punto de silla

Criterio de la segunda derivada (resumen)

Si $f'(a) = 0$: $f''(a) > 0$ implica mínimo local, $f''(a) < 0$ implica máximo local, $f''(a) = 0$ es inconcluso.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^4$, $f'(0) = 0$ y $f''(0) = 0$, el criterio es inconcluso, pero sabemos que hay mínimo en $x=0$

Ejemplos

Problema:

Clasificar los puntos críticos de $f(x) = x^4 - 4x^3$

Diagrama:

Gráfica mostrando los puntos críticos clasificados.

Solución:

$f'(x) = 4x^3-12x^2 = 4x^2(x-3) = 0$ cuando $x=0$ o $x=3$. $f''(x) = 12x^2-24x = 12x(x-2)$. $f''(0) = 0$ (inconcluso), pero $f'$ cambia de negativo a positivo, entonces mínimo en $x=0$. $f''(3) = 36 > 0$, entonces mínimo en $x=3$.

Trazado de gráficas

Teoría

Para trazar la gráfica de una función, se analizan: dominio, intersecciones con ejes, simetría, asíntotas, intervalos de crecimiento/decrecimiento, extremos, concavidad, puntos de inflexión. Esta información permite construir un bosquejo preciso de la gráfica.

Fórmulas a usar

Procedimiento para trazar gráficas

1) Dominio 2) Intersecciones 3) Simetría 4) Asíntotas 5) Monotonía 6) Extremos 7) Concavidad 8) Puntos de inflexión

Diagrama:

Gráfica completa de la función mostrando todas las características.

Ejemplo:

Para $f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}$, dominio: $x \neq \pm 1$, asíntotas verticales en $x = \pm 1$, asíntota horizontal $y=1$, etc.

Ejemplos

Problema:

Trazar la gráfica de $f(x) = x^3 - 3x$

Diagrama:

Gráfica completa de $f(x) = x^3-3x$ con todas las características marcadas.

Solución:

Dominio: $\mathbb{R}$. Intersecciones: $(0,0)$, $(\pm\sqrt{3}, 0)$. Simetría: impar. $f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)$. Creciente en $(-\infty, -1)$ y $(1, +\infty)$, decreciente en $(-1, 1)$. Máximo local en $x=-1$, mínimo local en $x=1$. $f''(x) = 6x$, punto de inflexión en $x=0$.

Optimización

Teoría

Los problemas de optimización buscan encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad sujeta a ciertas restricciones. Se resuelven identificando la función objetivo, encontrando sus puntos críticos y determinando cuál da el extremo deseado.

Fórmulas a usar

Procedimiento de optimización

1) Identificar función objetivo 2) Expresar en una variable 3) Encontrar puntos críticos 4) Verificar extremos 5) Responder la pregunta

Diagrama:

Ilustración del problema de optimización.

Ejemplo:

Maximizar área de rectángulo con perímetro fijo: $A = x(\frac{P}{2}-x)$ donde $P$ es el perímetro

Ejemplos

Problema:

Encontrar el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un semicírculo de radio $r$

Diagrama:

Semicírculo con rectángulo inscrito mostrando las dimensiones óptimas.

Solución:

Si el rectángulo tiene base $2x$ y altura $y$, entonces $x^2+y^2 = r^2$, así $y = \sqrt{r^2-x^2}$. Área: $A = 2x\sqrt{r^2-x^2}$. Derivando y encontrando el máximo: $x = \frac{r}{\sqrt{2}}$, entonces las dimensiones son $2r/\sqrt{2}$ por $r/\sqrt{2}$.

Razones de cambio

Teoría

Las derivadas representan razones de cambio instantáneas. En problemas de razones de cambio relacionadas, dos o más cantidades cambian con el tiempo y se relacionan mediante una ecuación. Se deriva implícitamente respecto al tiempo para encontrar la razón de cambio de una cantidad en términos de otra.

Fórmulas a usar

Razones de cambio relacionadas

Si $F(x,y) = 0$ y $x = x(t)$, $y = y(t)$, entonces $\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dt} = 0$

Diagrama:

Ilustración de razones de cambio relacionadas.

Ejemplo:

Si $x^2+y^2 = 25$ y $\frac{dx}{dt} = 3$, entonces $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$, así $\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$

Ejemplos

Problema:

Un globo esférico se infla a razón de $100$ cm³/s. ¿A qué razón aumenta el radio cuando $r = 5$ cm?

Diagrama:

Globo esférico mostrando el cambio de radio.

Solución:

Volumen: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Derivando: $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}$. Sustituyendo: $100 = 4\pi(5)^2\frac{dr}{dt}$, entonces $\frac{dr}{dt} = \frac{100}{100\pi} = \frac{1}{\pi}$ cm/s.

Regla de L'Hôpital

Teoría

La regla de L'Hôpital permite evaluar límites de formas indeterminadas $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ usando derivadas. Si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ es indeterminado y $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Fórmulas a usar

Regla de L'Hôpital (forma $\frac{0}{0}$)

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ y $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Diagrama:

Ilustración de la aplicación de la regla de L'Hôpital.

Ejemplo:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = 1$

Regla de L'Hôpital (forma $\frac{\infty}{\infty}$)

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty$ y $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Ejemplo:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

Ejemplos

Problema:

Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

Diagrama:

Ilustración de la aplicación repetida de L'Hôpital.

Solución:

Forma $\frac{0}{0}$. Aplicando L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$. Aún $\frac{0}{0}$, aplicando de nuevo: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$.

Consejos de Estudio

Los puntos críticos son candidatos para extremos locales
El criterio de la segunda derivada es más rápido pero a veces inconcluso
Para optimización, identifica claramente la función objetivo y las restricciones
En razones de cambio relacionadas, dibuja un diagrama y establece las relaciones
La regla de L'Hôpital solo aplica a formas $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$
Para trazar gráficas, sigue un procedimiento sistemático
Los puntos de inflexión separan intervalos de diferente concavidad