CAP. 6: Aplicaciones de la Integración

Las integrales tienen numerosas aplicaciones prácticas: cálculo de áreas, volúmenes de sólidos de revolución, longitudes de curvas, centros de gravedad, momentos de inercia, y más. Este capítulo cubre estas aplicaciones fundamentales del cálculo integral.

Sumas de Riemann

Teoría

Las sumas de Riemann aproximan el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando las áreas de rectángulos. El límite de estas sumas cuando el número de subintervalos tiende a infinito es la integral definida.

Fórmulas a usar

Suma de Riemann

$R_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$ donde $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ y $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$

Diagrama:

Gráfica mostrando rectángulos de Riemann aproximando el área.

Ejemplo:

Para $f(x) = x^2$ en $[0,2]$ con $n=4$: $R_4 = f(0.5)\cdot 0.5 + f(1)\cdot 0.5 + f(1.5)\cdot 0.5 + f(2)\cdot 0.5$

Integral como límite

$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$

Diagrama:

Ilustración del límite cuando $n \to \infty$.

Ejemplo:

El límite de las sumas de Riemann es la integral definida

Ejemplos

Problema:

Calcular la suma de Riemann para $f(x) = x^2$ en $[0,2]$ con $n=4$ usando puntos medios

Diagrama:

Gráfica con rectángulos usando puntos medios.

Solución:

$\Delta x = 0.5$, puntos medios: $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$. $R_4 = [0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625] \cdot 0.5 = 2.625$. El valor exacto es $\frac{8}{3} \approx 2.667$.

Áreas de regiones planas

Teoría

El área entre dos curvas $y = f(x)$ y $y = g(x)$ desde $x=a$ hasta $x=b$ (donde $f(x) \geq g(x)$) es $A = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx$. Si las curvas se cruzan, se divide el intervalo.

Fórmulas a usar

Área entre curvas

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx$ donde $f(x) \geq g(x)$ en $[a,b]$

Diagrama:

Gráfica mostrando el área entre dos curvas.

Ejemplo:

Área entre $y = x^2$ y $y = x$ desde $x=0$ hasta $x=1$: $A = \int_0^1 (x - x^2)dx = \frac{1}{6}$

Área en coordenadas polares

$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2 d\theta$

Diagrama:

Gráfica polar mostrando el área.

Ejemplo:

Área de $r = 2\cos(\theta)$: $A = \frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 4\cos^2(\theta)d\theta = \pi$

Ejemplos

Problema:

Hallar el área de la región acotada por $y = x^2$ e $y = 2x - x^2$

Diagrama:

Gráfica mostrando la región acotada por las dos parábolas.

Solución:

Intersecciones: $x^2 = 2x - x^2$, entonces $2x^2 - 2x = 0$, $x(x-1) = 0$, así $x=0$ y $x=1$. $A = \int_0^1 [(2x-x^2) - x^2]dx = \int_0^1 (2x-2x^2)dx = \left[x^2 - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Volúmenes de revolución

Teoría

El volumen de un sólido generado al rotar la región bajo $y = f(x)$ desde $x=a$ hasta $x=b$ alrededor del eje $x$ es $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx$ (método de discos). Si hay un hueco, se usa el método de arandelas.

Fórmulas a usar

Método de discos

$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx$ (rotación alrededor del eje $x$)

Diagrama:

Sólido de revolución mostrando discos.

Ejemplo:

Volumen al rotar $y = \sqrt{x}$ desde $x=0$ hasta $x=4$: $V = \pi\int_0^4 x dx = 8\pi$

Método de arandelas

$V = \pi\int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2)dx$ donde $f(x) \geq g(x)$

Diagrama:

Sólido mostrando arandelas.

Ejemplo:

Volumen al rotar la región entre $y=x$ y $y=x^2$: $V = \pi\int_0^1 (x^2 - x^4)dx = \frac{2\pi}{15}$

Método de capas cilíndricas

$V = 2\pi\int_a^b x f(x)dx$ (rotación alrededor del eje $y$)

Diagrama:

Sólido mostrando capas cilíndricas.

Ejemplo:

Volumen al rotar $y = x^2$ desde $x=0$ hasta $x=2$ alrededor del eje $y$: $V = 2\pi\int_0^2 x^3 dx = 8\pi$

Ejemplos

Problema:

Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por $y = x^2$ e $y = 4$ alrededor de $y = 4$

Diagrama:

Sólido de revolución con el método de discos.

Solución:

Usando método de discos: radio = $4 - x^2$, $V = \pi\int_{-2}^2 (4-x^2)^2 dx = \pi\int_{-2}^2 (16-8x^2+x^4)dx = \frac{256\pi}{15}$.

Longitud de curva

Teoría

La longitud de una curva $y = f(x)$ desde $x=a$ hasta $x=b$ es $L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$. Para curvas paramétricas: $L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}dt$.

Fórmulas a usar

Longitud de arco (cartesiana)

$L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$

Diagrama:

Curva mostrando un elemento de longitud de arco.

Ejemplo:

Longitud de $y = x^{3/2}$ desde $x=0$ hasta $x=4$: $L = \int_0^4 \sqrt{1+\frac{9x}{4}}dx = \frac{8}{27}(10^{3/2}-1)$

Longitud de arco (paramétrica)

$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}dt$

Diagrama:

Curva paramétrica con elemento de longitud.

Ejemplo:

Longitud de $x = \cos(t)$, $y = \sen(t)$ desde $t=0$ hasta $t=2\pi$: $L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\sen^2(t)+\cos^2(t)}dt = 2\pi$

Ejemplos

Problema:

Calcular la longitud de $y = \ln(\cos(x))$ desde $x=0$ hasta $x=\frac{\pi}{4}$

Diagrama:

Curva mostrando la longitud calculada.

Solución:

$f'(x) = -\tan(x)$, entonces $L = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1+\tan^2(x)}dx = \int_0^{\pi/4} \sec(x)dx = \ln|\sec(x)+\tan(x)||_0^{\pi/4} = \ln(\sqrt{2}+1)$.

Centros de gravedad

Teoría

El centro de gravedad (centroide) de una región plana es el punto donde se concentraría toda la masa si fuera uniforme. Para una región acotada por $y = f(x)$ y $y = g(x)$: $\bar{x} = \frac{1}{A}\int_a^b x[f(x)-g(x)]dx$ y $\bar{y} = \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}[f(x)^2-g(x)^2]dx$.

Fórmulas a usar

Centroide en $x$

$\bar{x} = \frac{1}{A}\int_a^b x[f(x)-g(x)]dx$ donde $A$ es el área

Diagrama:

Región mostrando el centroide.

Ejemplo:

Para región bajo $y = x^2$ desde $x=0$ hasta $x=1$: $\bar{x} = \frac{1}{1/3}\int_0^1 x^3 dx = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Centroide en $y$

$\bar{y} = \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}[f(x)^2-g(x)^2]dx$

Diagrama:

Ilustración del centroide.

Ejemplo:

Para la misma región: $\bar{y} = 3\int_0^1 \frac{1}{2}x^4 dx = \frac{3}{10}$

Ejemplos

Problema:

Hallar el centroide de la región acotada por $y = x$ e $y = x^2$

Diagrama:

Región mostrando el centroide calculado.

Solución:

Área: $A = \int_0^1 (x-x^2)dx = \frac{1}{6}$. $\bar{x} = 6\int_0^1 x(x-x^2)dx = 6\int_0^1 (x^2-x^3)dx = \frac{1}{2}$. $\bar{y} = 6\int_0^1 \frac{1}{2}(x^2-x^4)dx = \frac{2}{5}$. Centroide: $(\frac{1}{2}, \frac{2}{5})$.

Momentos de inercia

Teoría

El momento de inercia mide la resistencia de un objeto a la rotación. Para una región plana con densidad $\rho$: $I_x = \int \int y^2 \rho dA$ (respecto al eje $x$) y $I_y = \int \int x^2 \rho dA$ (respecto al eje $y$).

Fórmulas a usar

Momento de inercia respecto al eje $x$

$I_x = \int_a^b \int_{g(x)}^{f(x)} y^2 \rho dy dx$

Diagrama:

Ilustración del momento de inercia.

Ejemplo:

Para región rectangular con densidad constante: $I_x = \frac{1}{3}\rho b h^3$

Momento de inercia respecto al eje $y$

$I_y = \int_a^b \int_{g(x)}^{f(x)} x^2 \rho dy dx$

Ejemplo:

Para la misma región: $I_y = \frac{1}{3}\rho b^3 h$

Ejemplos

Problema:

Calcular el momento de inercia de un disco de radio $R$ y densidad constante $\rho$ respecto a su centro

Diagrama:

Disco mostrando el cálculo del momento de inercia.

Solución:

Usando coordenadas polares: $I = \int_0^{2\pi}\int_0^R r^2 \cdot \rho r dr d\theta = \rho\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^R r^3 dr = 2\pi\rho\frac{R^4}{4} = \frac{\pi\rho R^4}{2}$.

Integrales impropias

Teoría

Las integrales impropias son integrales definidas con límites infinitos o con discontinuidades infinitas en el intervalo. Se calculan como límites de integrales propias.

Fórmulas a usar

Integral impropia tipo 1 (límite infinito)

$\int_a^{\infty} f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)dx$

Diagrama:

Gráfica mostrando la integral impropia convergente.

Ejemplo:

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{1}{x^2}dx = \lim_{t \to \infty} (1-\frac{1}{t}) = 1$

Integral impropia tipo 2 (discontinuidad infinita)

$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)dx$ si $f$ tiene discontinuidad infinita en $a$

Diagrama:

Gráfica mostrando la discontinuidad infinita.

Ejemplo:

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}dx = \lim_{t \to 0^+} 2(1-\sqrt{t}) = 2$

Ejemplos

Problema:

Determinar si $\int_1^{\infty} \frac{1}{x}dx$ converge o diverge

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{1}{x}$ mostrando la divergencia.

Solución:

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x}dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{1}{x}dx = \lim_{t \to \infty} \ln(t) = \infty$. La integral diverge.

Consejos de Estudio

Las sumas de Riemann aproximan áreas; el límite es la integral exacta
Para áreas entre curvas, identifica qué función está arriba
En volúmenes de revolución, elige el método apropiado (discos, arandelas, capas)
La longitud de arco requiere la derivada de la función
Los centroides son puntos de equilibrio de la región
Los momentos de inercia dependen de la distribución de masa
Las integrales impropias se evalúan como límites
Verifica la convergencia antes de calcular integrales impropias