CAP. 1: Funciones

Este capítulo introduce el concepto fundamental de función, sus propiedades, tipos especiales de funciones y operaciones entre ellas. Las funciones son la base del cálculo diferencial e integral. **¿Por qué estudiar funciones?** Las funciones son el lenguaje básico de todo el cálculo. Sin funciones, no podrías entender derivadas (tasas de cambio), integrales (áreas), ni optimización. Cada concepto en cálculo se construye sobre funciones. **Aplicaciones del mundo real:** - Modelar el crecimiento de poblaciones (funciones exponenciales) - Calcular distancias y velocidades (funciones lineales y cuadráticas) - Analizar fenómenos periódicos como ondas de sonido (funciones trigonométricas) - Modelar procesos de decaimiento radiactivo (funciones exponenciales)

Definición, dominio y rango

Teoría

Una función $f$ de un conjunto $A$ en un conjunto $B$ es una regla que asigna a cada elemento $x$ de $A$ exactamente un elemento $y$ de $B$. El conjunto $A$ se llama dominio de $f$ (denotado $\text{Dom}(f)$) y el conjunto de todos los valores posibles $f(x)$ se llama rango o imagen de $f$ (denotado $\text{Ran}(f)$ o $\text{Im}(f)$).

Diagrama:

Diagrama de flechas mostrando una función $f: A \to B$ donde cada elemento de $A$ tiene exactamente una flecha hacia un elemento de $B$. El dominio $A$ contiene todos los valores de entrada, el rango contiene todos los valores de salida.

Fórmulas a usar

Notación de función

$f: A \to B$ o $y = f(x)$ donde $x \in \text{Dom}(f)$ y $y \in \text{Ran}(f)$

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^2 + 1$ mostrando que el dominio es toda la recta real y el rango es $[1, +\infty)$.

Ejemplo:

$f(x) = x^2 + 1$: dominio $\mathbb{R}$, rango $[1, +\infty)$

Dominio natural

El dominio natural de $f(x)$ es el mayor conjunto de números reales para el cual $f(x)$ está definida

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = \sqrt{x-2}$ comenzando en $x=2$ y extendiéndose hacia la derecha.

Ejemplo:

$f(x) = \sqrt{x-2}$: dominio $[2, +\infty)$ porque $x-2 \geq 0$

Rango de una función

$\text{Ran}(f) = \{f(x) : x \in \text{Dom}(f)\}$

Diagrama:

Parábola $y = x^2$ mostrando que el rango es $[0, +\infty)$.

Ejemplo:

$f(x) = x^2$: rango $[0, +\infty)$ porque $x^2 \geq 0$ para todo $x$

Ejemplos

Problema:

Determinar el dominio y rango de $f(x) = \frac{1}{x-3}$

Diagrama:

Gráfica de la hipérbola $y = \frac{1}{x-3}$ con asíntota vertical en $x=3$ y asíntota horizontal en $y=0$.

Solución:

{'paso1': 'Identificamos las restricciones: El denominador $x-3$ no puede ser cero, entonces $x \\neq 3$.', 'paso2': 'Dominio: Todos los números reales excepto $x = 3$. Por tanto, $\\text{Dom}(f) = (-\\infty, 3) \\cup (3, +\\infty)$.', 'paso3': 'Para el rango: Observamos que $f(x) = \\frac{1}{x-3}$ puede tomar cualquier valor real excepto $0$ (porque nunca es cero).', 'paso4': 'Rango: $\\text{Ran}(f) = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)$.', 'resultado': 'Por lo tanto: $\\text{Dom}(f) = \\mathbb{R} - \\{3\\}$ y $\\text{Ran}(f) = \\mathbb{R} - \\{0\\}$'}

Problema:

Hallar el dominio de $f(x) = \sqrt{4-x^2}$

Diagrama:

Semicírculo superior $y = \sqrt{4-x^2}$ desde $x=-2$ hasta $x=2$.

Solución:

{'paso1': 'Para raíces cuadradas (índice par), el radicando debe ser $\\geq 0$: $4-x^2 \\geq 0$', 'paso2': 'Resolvemos la desigualdad: $x^2 \\leq 4$, entonces $-2 \\leq x \\leq 2$', 'paso3': 'Dominio: $\\text{Dom}(f) = [-2, 2]$', 'resultado': 'El dominio es el intervalo cerrado desde $-2$ hasta $2$'}

Álgebra de funciones

Teoría

Las funciones pueden combinarse mediante operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) para formar nuevas funciones. También podemos multiplicar una función por una constante.

Fórmulas a usar

Suma de funciones

$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ con dominio $\text{Dom}(f) \cap \text{Dom}(g)$

Ejemplo:

Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = 3x$, entonces $(f+g)(x) = x^2 + 3x$

Resta de funciones

$(f-g)(x) = f(x) - g(x)$ con dominio $\text{Dom}(f) \cap \text{Dom}(g)$

Ejemplo:

Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = 3x$, entonces $(f-g)(x) = x^2 - 3x$

Multiplicación de funciones

$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ con dominio $\text{Dom}(f) \cap \text{Dom}(g)$

Ejemplo:

Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = 3x$, entonces $(f \cdot g)(x) = x^2 \cdot 3x = 3x^3$

División de funciones

$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ con dominio $\{x : x \in \text{Dom}(f) \cap \text{Dom}(g), g(x) \neq 0\}$

Ejemplo:

Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = 3x$, entonces $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2}{3x} = \frac{x}{3}$ para $x \neq 0$

Multiplicación por constante

$(c \cdot f)(x) = c \cdot f(x)$ donde $c$ es una constante

Ejemplo:

Si $f(x) = x^2$ y $c = 5$, entonces $(5f)(x) = 5x^2$

Ejemplos

Problema:

Dadas $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x-1$, determinar $(f+g)(x)$ y su dominio

Diagrama:

Gráfica de $y = \sqrt{x} + x - 1$ comenzando en $x=0$.

Solución:

$(f+g)(x) = \sqrt{x} + (x-1) = \sqrt{x} + x - 1$. Dominio: $\text{Dom}(f) = [0, +\infty)$ y $\text{Dom}(g) = \mathbb{R}$, entonces $\text{Dom}(f+g) = [0, +\infty)$.

Función inyectiva

Teoría

Una función $f$ es inyectiva (o uno a uno) si diferentes elementos del dominio tienen imágenes diferentes. Es decir, si $f(x_1) = f(x_2)$, entonces $x_1 = x_2$. Gráficamente, una función es inyectiva si cualquier recta horizontal corta la gráfica a lo sumo en un punto (prueba de la recta horizontal).

Fórmulas a usar

Definición de función inyectiva

$f$ es inyectiva si $\forall x_1, x_2 \in \text{Dom}(f)$, si $f(x_1) = f(x_2)$ entonces $x_1 = x_2$

Diagrama:

Gráfica de una función inyectiva (recta creciente) donde cada recta horizontal la corta en un solo punto.

Ejemplo:

$f(x) = 2x + 3$ es inyectiva: si $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3$, entonces $2x_1 = 2x_2$, luego $x_1 = x_2$

Prueba de la recta horizontal

Una función es inyectiva si y solo si toda recta horizontal corta su gráfica a lo sumo en un punto

Diagrama:

Parábola $y = x^2$ mostrando que la recta horizontal $y=4$ la corta en dos puntos: $x=-2$ y $x=2$.

Ejemplo:

$f(x) = x^2$ no es inyectiva en $\mathbb{R}$ porque $f(-2) = f(2) = 4$, pero sí lo es en $[0, +\infty)$

Ejemplos

Problema:

Determinar si $f(x) = x^3 - 2x$ es inyectiva

Diagrama:

Gráfica de $y = x^3 - 2x$ mostrando que no pasa la prueba de la recta horizontal.

Solución:

No es inyectiva en $\mathbb{R}$ porque $f(0) = 0$ y $f(\sqrt{2}) = 0$ (hay múltiples valores que dan la misma imagen). Sin embargo, es inyectiva en intervalos donde es estrictamente creciente o decreciente.

Función inversa

Teoría

Si $f$ es una función inyectiva con dominio $A$ y rango $B$, entonces existe una función inversa $f^{-1}$ con dominio $B$ y rango $A$ tal que $f^{-1}(f(x)) = x$ para todo $x \in A$ y $f(f^{-1}(y)) = y$ para todo $y \in B$. La gráfica de $f^{-1}$ es la reflexión de la gráfica de $f$ respecto a la recta $y = x$.

Fórmulas a usar

Definición de función inversa

$f^{-1}(y) = x$ si y solo si $f(x) = y$

Diagrama:

Gráficas de $f(x) = 2x+3$ y $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ mostrando que son simétricas respecto a $y=x$.

Ejemplo:

Si $f(x) = 2x + 3$, entonces $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ porque $f\left(\frac{x-3}{2}\right) = 2\left(\frac{x-3}{2}\right) + 3 = x$

Propiedades de la función inversa

$(f^{-1})^{-1} = f$ y $f^{-1}(f(x)) = x$, $f(f^{-1}(y)) = y$

Ejemplo:

Para $f(x) = x^3$, $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ y $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(8) = 2$

Ejemplos

Problema:

Hallar la inversa de $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$

Diagrama:

Gráficas de $f$ y $f^{-1}$ mostrando simetría respecto a $y=x$.

Solución:

Sea $y = \frac{x+1}{x-2}$. Resolviendo para $x$: $y(x-2) = x+1$, $yx - 2y = x+1$, $yx - x = 1 + 2y$, $x(y-1) = 1+2y$, entonces $x = \frac{1+2y}{y-1}$. Por lo tanto, $f^{-1}(x) = \frac{1+2x}{x-1}$ con dominio $x \neq 1$.

Función par e impar

Teoría

Una función $f$ es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ en su dominio. Una función $f$ es impar si $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$ en su dominio. Las funciones pares tienen gráficas simétricas respecto al eje $y$, mientras que las funciones impares tienen gráficas simétricas respecto al origen.

Fórmulas a usar

Función par

$f(-x) = f(x)$ para todo $x \in \text{Dom}(f)$

Diagrama:

Parábola $y = x^2$ mostrando simetría respecto al eje $y$.

Ejemplo:

$f(x) = x^2$ es par porque $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$

Función impar

$f(-x) = -f(x)$ para todo $x \in \text{Dom}(f)$

Diagrama:

Gráfica de $y = x^3$ mostrando simetría respecto al origen.

Ejemplo:

$f(x) = x^3$ es impar porque $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$

Ejemplos

Problema:

Determinar si $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ es par, impar o ninguna

Diagrama:

Gráfica de $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ mostrando simetría respecto al eje $y$.

Solución:

$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$. Por lo tanto, $f$ es par.

Función periódica

Teoría

Una función $f$ es periódica si existe un número positivo $T$ tal que $f(x+T) = f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$. El menor número positivo $T$ con esta propiedad se llama período de $f$. Las funciones trigonométricas son ejemplos importantes de funciones periódicas.

Fórmulas a usar

Definición de función periódica

$f(x+T) = f(x)$ para todo $x$, donde $T > 0$ es el período

Diagrama:

Gráfica de $y = \sen(x)$ mostrando la periodicidad cada $2\pi$.

Ejemplo:

$\sen(x)$ es periódica con período $2\pi$: $\sen(x + 2\pi) = \sen(x)$

Período de funciones trigonométricas

$\sen(x)$ y $\cos(x)$ tienen período $2\pi$; $\tan(x)$ tiene período $\pi$

Diagrama:

Gráficas de funciones trigonométricas mostrando sus períodos.

Ejemplo:

$\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ y $\tan(x + \pi) = \tan(x)$

Ejemplos

Problema:

Determinar el período de $f(x) = \sen(3x)$

Diagrama:

Gráfica de $y = \sen(3x)$ mostrando período $\frac{2\pi}{3}$.

Solución:

Si $f(x+T) = \sen(3(x+T)) = \sen(3x + 3T) = \sen(3x)$, entonces $3T = 2\pi$, por lo tanto $T = \frac{2\pi}{3}$.

Composición de funciones

Teoría

La composición de dos funciones $f$ y $g$ es la función $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. El dominio de $f \circ g$ es el conjunto de todos los $x$ en el dominio de $g$ tales que $g(x)$ está en el dominio de $f$. En general, $f \circ g \neq g \circ f$.

Fórmulas a usar

Composición de funciones

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ con dominio $\{x : x \in \text{Dom}(g), g(x) \in \text{Dom}(f)\}$

Diagrama:

Diagrama mostrando la composición: $x \to g(x) = x+1 \to f(g(x)) = (x+1)^2$.

Ejemplo:

Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = x+1$, entonces $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$

Composición con función inversa

$(f \circ f^{-1})(x) = x$ y $(f^{-1} \circ f)(x) = x$

Ejemplo:

Para $f(x) = 2x$, $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, entonces $f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x}{2}\right) = 2\left(\frac{x}{2}\right) = x$

Ejemplos

Problema:

Dadas $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2 - 4$, hallar $(f \circ g)(x)$ y su dominio

Diagrama:

Gráfica de $y = \sqrt{x^2-4}$ mostrando el dominio restringido.

Solución:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2-4) = \sqrt{x^2-4}$. Dominio: $x^2-4 \geq 0$, entonces $x^2 \geq 4$, por lo tanto $x \leq -2$ o $x \geq 2$. $\text{Dom}(f \circ g) = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

Funciones algebraicas

Teoría

Las funciones algebraicas son aquellas que se pueden obtener mediante operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a polinomios. Incluyen funciones polinómicas, racionales y radicales.

Fórmulas a usar

Función polinómica

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ donde $a_n \neq 0$

Diagrama:

Gráfica de un polinomio de grado 4 mostrando sus características.

Ejemplo:

$P(x) = 3x^4 - 2x^3 + x - 5$ es una función polinómica de grado 4

Función racional

$R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P$ y $Q$ son polinomios, $Q(x) \neq 0$

Diagrama:

Gráfica de una función racional con asíntotas.

Ejemplo:

$R(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ es una función racional

Función radical

$f(x) = \sqrt[n]{g(x)}$ donde $g(x)$ es una función algebraica

Diagrama:

Gráfica de una función radical.

Ejemplo:

$f(x) = \sqrt{x^2+1}$ es una función radical

Ejemplos

Problema:

Analizar la función $f(x) = \frac{x^3-8}{x^2-4}$

Diagrama:

Gráfica de la función racional mostrando la discontinuidad removible y la asíntota vertical.

Solución:

Factorizando: $f(x) = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x+4}{x+2}$ para $x \neq 2$. Dominio: $x \neq \pm 2$. Hay una discontinuidad removible en $x=2$ y una asíntota vertical en $x=-2$.

Funciones exponenciales

Teoría

Una función exponencial es de la forma $f(x) = a^x$ donde $a > 0$ y $a \neq 1$. Si $a > 1$, la función es creciente; si $0 < a < 1$, es decreciente. El dominio es $\mathbb{R}$ y el rango es $(0, +\infty)$. La función exponencial natural es $e^x$ donde $e \approx 2.71828$.

Fórmulas a usar

Función exponencial

$f(x) = a^x$ donde $a > 0$, $a \neq 1$

Diagrama:

Gráfica de $y = 2^x$ mostrando crecimiento exponencial.

Ejemplo:

$f(x) = 2^x$ es una función exponencial creciente

Propiedades de exponentes

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$, $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$, $(a^x)^y = a^{xy}$

Ejemplo:

$2^{3+4} = 2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128$

Función exponencial natural

$f(x) = e^x$ donde $e \approx 2.71828$

Diagrama:

Gráfica de $y = e^x$ mostrando crecimiento exponencial.

Ejemplo:

$e^0 = 1$, $e^1 = e$, $e^{-1} = \frac{1}{e}$

Ejemplos

Problema:

Resolver $2^{x+1} = 8$

Diagrama:

Gráfica de $y = 2^{x+1}$ y la recta $y=8$ mostrando la intersección en $x=2$.

Solución:

$2^{x+1} = 2^3$, entonces $x+1 = 3$, por lo tanto $x = 2$.

Funciones logarítmicas

Teoría

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Si $a > 0$ y $a \neq 1$, entonces $\log_a(x)$ es el exponente al que hay que elevar $a$ para obtener $x$. El logaritmo natural es $\ln(x) = \log_e(x)$. El dominio es $(0, +\infty)$ y el rango es $\mathbb{R}$.

Fórmulas a usar

Definición de logaritmo

$\log_a(x) = y$ si y solo si $a^y = x$

Diagrama:

Gráfica de $y = \log_2(x)$ mostrando que es la inversa de $y = 2^x$.

Ejemplo:

$\log_2(8) = 3$ porque $2^3 = 8$

Propiedades de logaritmos

$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$, $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$, $\log_a(x^r) = r\log_a(x)$

Ejemplo:

$\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4\log_2(2) = 4$

Logaritmo natural

$\ln(x) = \log_e(x)$

Diagrama:

Gráfica de $y = \ln(x)$ mostrando que es la inversa de $y = e^x$.

Ejemplo:

$\ln(e) = 1$, $\ln(1) = 0$, $\ln(e^2) = 2$

Ejemplos

Problema:

Resolver $\log_3(x-1) = 2$

Diagrama:

Gráfica de $y = \log_3(x-1)$ y la recta $y=2$ mostrando la intersección en $x=10$.

Solución:

$\log_3(x-1) = 2$ implica $3^2 = x-1$, entonces $9 = x-1$, por lo tanto $x = 10$.

Funciones trigonométricas

Teoría

Las funciones trigonométricas relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las razones de sus lados. Las funciones principales son: $\sen(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\cot(x)$, $\sec(x)$ y $\csc(x)$. Son funciones periódicas con períodos $2\pi$ (excepto $\tan$ y $\cot$ que tienen período $\pi$).

Fórmulas a usar

Funciones trigonométricas básicas

$\sen(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x) = \frac{\sen(x)}{\cos(x)}$

Diagrama:

Círculo unitario mostrando las funciones trigonométricas.

Ejemplo:

$\sen(0) = 0$, $\cos(0) = 1$, $\tan(0) = 0$

Identidades fundamentales

$\sen^2(x) + \cos^2(x) = 1$, $1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$, $1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$

Ejemplo:

$\sen^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Gráficas de funciones trigonométricas

$\sen(x)$ y $\cos(x)$ oscilan entre $-1$ y $1$; $\tan(x)$ tiene asíntotas verticales

Diagrama:

Gráficas de $\sen(x)$, $\cos(x)$ y $\tan(x)$ mostrando sus características.

Ejemplo:

Gráfica de $y = \sen(x)$ es una onda senoidal

Ejemplos

Problema:

Determinar el dominio y rango de $f(x) = \tan(x)$

Diagrama:

Gráfica de $y = \tan(x)$ mostrando las asíntotas verticales y el rango completo.

Solución:

Dominio: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ donde $k \in \mathbb{Z}$ (donde $\cos(x) = 0$). Rango: $(-\infty, +\infty)$.

Funciones hiperbólicas

Teoría

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas pero se definen usando exponenciales. Las principales son: $\senh(x)$, $\cosh(x)$, $\tanh(x)$, $\coth(x)$, $\sech(x)$ y $\csch(x)$. Tienen propiedades similares a las trigonométricas pero no son periódicas.

Fórmulas a usar

Definiciones de funciones hiperbólicas

$\senh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh(x) = \frac{\senh(x)}{\cosh(x)}$

Diagrama:

Gráficas de $\senh(x)$, $\cosh(x)$ y $\tanh(x)$.

Ejemplo:

$\senh(0) = 0$, $\cosh(0) = 1$, $\tanh(0) = 0$

Identidad hiperbólica fundamental

$\cosh^2(x) - \senh^2(x) = 1$

Ejemplo:

$\cosh^2(1) - \senh^2(1) = \left(\frac{e+e^{-1}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e-e^{-1}}{2}\right)^2 = 1$

Ejemplos

Problema:

Simplificar $\cosh^2(x) - \senh^2(x)$

Diagrama:

Ilustración de la identidad hiperbólica.

Solución:

Usando las definiciones: $\cosh^2(x) - \senh^2(x) = \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Funciones especiales

Teoría

Existen funciones especiales importantes en cálculo como la función valor absoluto, la función parte entera (o función piso), la función signo, y funciones definidas por partes. Estas funciones tienen propiedades particulares y aparecen frecuentemente en problemas de cálculo.

Fórmulas a usar

Función valor absoluto

$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Diagrama:

Gráfica de $y = |x|$ mostrando la forma de V.

Ejemplo:

$|3| = 3$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$

Función parte entera (piso)

$\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x$

Diagrama:

Gráfica escalonada de $y = \lfloor x \rfloor$.

Ejemplo:

$\lfloor 3.7 \rfloor = 3$, $\lfloor -2.3 \rfloor = -3$

Función signo

$\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x > 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Diagrama:

Gráfica de la función signo.

Ejemplo:

$\text{sgn}(5) = 1$, $\text{sgn}(0) = 0$, $\text{sgn}(-3) = -1$

Ejemplos

Problema:

Graficar $f(x) = |x-2| + 1$

Diagrama:

Gráfica de $y = |x-2| + 1$ mostrando el desplazamiento.

Solución:

La gráfica es la de $|x|$ desplazada 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba. Vértice en $(2, 1)$.

Consejos de Estudio

El dominio de una función es el conjunto de valores de entrada para los cuales la función está definida
El rango es el conjunto de valores de salida que la función puede producir
Una función es inyectiva si pasa la prueba de la recta horizontal
La gráfica de $f^{-1}$ es la reflexión de la gráfica de $f$ respecto a $y=x$
Las funciones pares son simétricas respecto al eje $y$, las impares respecto al origen
La composición $(f \circ g)(x)$ significa aplicar primero $g$ y luego $f$
Las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí
Las funciones trigonométricas son periódicas y tienen dominios y rangos específicos