CAP. 2: Límites y Continuidad

Los límites son la base fundamental del cálculo diferencial e integral. **¿Por qué estudiar límites?** Los límites resuelven el problema de estudiar el comportamiento de funciones en puntos problemáticos. Permiten calcular velocidades instantáneas (derivadas) y áreas bajo curvas (integrales). Sin límites, el cálculo no existiría. **Aplicaciones del mundo real:** - **Velocidad instantánea**: Si viajas en auto, tu velocidad promedio es distancia/tiempo, pero ¿cuál es tu velocidad en un instante exacto? Los límites responden esta pregunta. - **Optimización**: Encontrar el punto máximo o mínimo de una función requiere límites (derivadas). - **Análisis de señales**: En ingeniería, los límites permiten analizar sistemas continuos y discretos. **Contexto histórico**: El concepto de límite fue desarrollado formalmente por matemáticos como Cauchy y Weierstrass en el siglo XIX para dar rigor a las ideas de Newton y Leibniz sobre cálculo. ⚠️ Este capítulo es CRÍTICO: domínalo bien antes de continuar a derivadas.

Definición de límite

Teoría

**Definición Intuitiva (para empezar):** El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$ (escrito $\lim_{x \to a} f(x) = L$) si podemos hacer que $f(x)$ esté arbitrariamente cerca de $L$ tomando $x$ suficientemente cerca de $a$ (pero $x \neq a$). **Pensamiento clave**: No importa el valor de $f(a)$ (o si existe), solo importa hacia dónde se acerca $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$. **Definición formal ($\epsilon$-$\delta$):** La definición formal es más precisa pero más técnica. Para la mayoría de problemas prácticos, trabajarás con la definición intuitiva y las propiedades de límites. La definición formal es importante para demostraciones rigurosas. Formalmente: $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-a| < \delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. ⚠️ **NOTA**: No te desanimes si la definición formal parece difícil al principio. Es normal. Lo importante es entender la idea intuitiva.

Fórmulas a usar

Definición intuitiva de límite

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que cuando $x$ se acerca a $a$, $f(x)$ se acerca a $L$

Diagrama:

Gráfica de $y = 3x+1$ mostrando cómo $f(x)$ se acerca a $7$ cuando $x$ se acerca a $2$.

Ejemplo:

$\lim_{x \to 2} (3x+1) = 7$ porque cuando $x$ se acerca a $2$, $3x+1$ se acerca a $7$

Definición formal ($\epsilon$-$\delta$)

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ si para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-a| < \delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$

Ejemplo:

Para $\lim_{x \to 3} 2x = 6$, dado $\epsilon > 0$, tomamos $\delta = \frac{\epsilon}{2}$

Ejemplos

Problema:

Calcular $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{x^2-4}{x-2}$ mostrando que es igual a $y = x+2$ excepto en $x=2$, donde hay un 'hueco'.

Solución:

{'paso1': 'Identificamos que es una indeterminación $\\frac{0}{0}$ (al evaluar directamente: $\\frac{2^2-4}{2-2} = \\frac{0}{0}$)', 'paso2': 'Factorizamos el numerador usando diferencia de cuadrados: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$', 'paso3': 'Simplificamos: $\\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ ⚠️ IMPORTANTE: Solo podemos simplificar si $x \\neq 2$, pero el límite pregunta qué pasa cuando $x$ se acerca a 2, no cuando $x$ es exactamente 2.', 'paso4': 'Calculamos el límite: $\\lim_{x \\to 2} (x+2) = 2+2 = 4$', 'resultado': 'Por lo tanto, $\\lim_{x \\to 2} \\frac{x^2-4}{x-2} = 4$'}

Problema:

Usar la definición para demostrar que $\lim_{x \to 1} (2x+3) = 5$

Diagrama:

Ilustración de la definición $\epsilon$-$\delta$ para este límite.

Solución:

{'paso1': 'Dado $\\epsilon > 0$, queremos encontrar $\\delta > 0$ tal que si $0 < |x-1| < \\delta$ entonces $|(2x+3)-5| < \\epsilon$', 'paso2': 'Simplificamos: $|(2x+3)-5| = |2x-2| = 2|x-1|$', 'paso3': 'Para que $2|x-1| < \\epsilon$, necesitamos $|x-1| < \\frac{\\epsilon}{2}$', 'paso4': 'Tomamos $\\delta = \\frac{\\epsilon}{2}$', 'paso5': 'Verificación: Si $|x-1| < \\delta = \\frac{\\epsilon}{2}$, entonces $|(2x+3)-5| = 2|x-1| < 2\\cdot\\frac{\\epsilon}{2} = \\epsilon$', 'resultado': 'Por lo tanto, la definición se cumple y $\\lim_{x \\to 1} (2x+3) = 5$'}

Teoremas de límites

Teoría

Los teoremas de límites proporcionan reglas para calcular límites de funciones combinadas. Estos teoremas permiten descomponer límites complejos en límites más simples.

Fórmulas a usar

Límite de una constante

$\lim_{x \to a} c = c$ donde $c$ es una constante

Ejemplo:

$\lim_{x \to 5} 7 = 7$

Límite de la función identidad

$\lim_{x \to a} x = a$

Ejemplo:

$\lim_{x \to 3} x = 3$

Límite de suma/diferencia

$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$

Ejemplo:

$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 3x = 4 + 6 = 10$

Límite de producto

$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$

Ejemplo:

$\lim_{x \to 1} (x^2 \cdot 2x) = \lim_{x \to 1} x^2 \cdot \lim_{x \to 1} 2x = 1 \cdot 2 = 2$

Límite de cociente

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ si $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

Ejemplo:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2}{x+1} = \frac{\lim_{x \to 2} x^2}{\lim_{x \to 2} (x+1)} = \frac{4}{3}$

Límite de potencia

$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n$

Ejemplo:

$\lim_{x \to 3} (x+1)^2 = [\lim_{x \to 3} (x+1)]^2 = 4^2 = 16$

Ejemplos

Problema:

Calcular $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{x^2-4}{x-2}$ mostrando que es equivalente a $y = x+2$ excepto en $x=2$.

Solución:

Factorizando: $\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ para $x \neq 2$. Entonces $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.

Límites algebraicos

Teoría

Los límites algebraicos involucran funciones polinómicas y racionales. Para funciones racionales con forma indeterminada $\frac{0}{0}$, se factoriza, se racionaliza o se simplifica para eliminar la indeterminación.

Fórmulas a usar

Límite de función polinómica

$\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$ donde $P$ es un polinomio

Ejemplo:

$\lim_{x \to 1} (x^3 - 2x + 1) = 1^3 - 2(1) + 1 = 0$

Límite de función racional

$\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}$ si $Q(a) \neq 0$

Ejemplo:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2+1}{x-1} = \frac{4+1}{2-1} = 5$

Indeterminación $\frac{0}{0}$

Si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, factorizar o racionalizar

Ejemplo:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2} = \frac{1}{4}$

Ejemplos

Problema:

Calcular $\lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1}$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{x^3-1}{x-1}$ mostrando el límite en $x=1$.

Solución:

Factorizando: $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$, entonces $\lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2+x+1) = 3$.

Límites trigonométricos

Teoría

Los límites que involucran funciones trigonométricas requieren técnicas especiales. El límite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1$ es crucial y se usa para calcular otros límites trigonométricos.

Fórmulas a usar

Límite fundamental

$\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1$

Diagrama:

Gráfica mostrando $\frac{\sen(x)}{x}$ cerca de $x=0$ y cómo se acerca a $1$.

Ejemplo:

Este límite es fundamental y se demuestra usando el teorema del sándwich

Límite relacionado

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x} = 0$

Ejemplo:

Se demuestra usando identidades trigonométricas y el límite fundamental

Límite de $\tan(x)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$

Ejemplo:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} \cdot \frac{1}{\cos(x)} = 1 \cdot 1 = 1$

Ejemplos

Problema:

Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\sen(3x)}{x}$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{\sen(3x)}{x}$ mostrando el límite en $x=0$.

Solución:

Haciendo $u = 3x$, cuando $x \to 0$ tenemos $u \to 0$. Entonces $\lim_{x \to 0} \frac{\sen(3x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sen(u)}{u/3} = 3\lim_{u \to 0} \frac{\sen(u)}{u} = 3(1) = 3$.

Límites exponenciales y logarítmicos

Teoría

Los límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas tienen propiedades especiales. El límite $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$ es fundamental y relaciona exponenciales con el número $e$.

Fórmulas a usar

Límite fundamental exponencial

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$

Diagrama:

Gráfica de $(1+x)^{1/x}$ mostrando cómo se acerca a $e$ cuando $x \to 0$.

Ejemplo:

Este límite define el número $e \approx 2.71828$

Límite de función exponencial

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

Ejemplo:

Se demuestra usando la definición de derivada de $e^x$

Límite de función logarítmica

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

Ejemplo:

Se relaciona con el límite exponencial mediante cambio de variable

Ejemplos

Problema:

Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{e^{2x}-1}{x}$ mostrando el límite en $x=0$.

Solución:

Haciendo $u = 2x$, cuando $x \to 0$ tenemos $u \to 0$. Entonces $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{e^u-1}{u/2} = 2\lim_{u \to 0} \frac{e^u-1}{u} = 2(1) = 2$.

Límites infinitos

Teoría

Un límite infinito ocurre cuando los valores de la función crecen sin cota (positiva o negativa) cuando $x$ se acerca a un valor. Esto indica la presencia de una asíntota vertical.

Fórmulas a usar

Límite infinito positivo

$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ significa que $f(x)$ crece sin límite cuando $x \to a$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{1}{x}$ mostrando la asíntota vertical en $x=0$.

Ejemplo:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

Límite infinito negativo

$\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ significa que $f(x)$ decrece sin límite cuando $x \to a$

Diagrama:

Gráfica mostrando el comportamiento cuando $x \to 0$ por la izquierda.

Ejemplo:

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$

Ejemplos

Problema:

Analizar $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{1}{(x-2)^2}$ mostrando la asíntota vertical en $x=2$.

Solución:

Cuando $x \to 2$, $(x-2)^2 \to 0^+$, entonces $\frac{1}{(x-2)^2} \to +\infty$. Por lo tanto, $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty$.

Límites al infinito

Teoría

Los límites al infinito estudian el comportamiento de funciones cuando $x$ tiende a $+\infty$ o $-\infty$. Esto permite identificar asíntotas horizontales y el comportamiento asintótico de funciones.

Fórmulas a usar

Límite al infinito

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ crece sin límite

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{1}{x}$ mostrando la asíntota horizontal $y=0$.

Ejemplo:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

Límite de función racional al infinito

Para $\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}$, el límite depende de $n$ y $m$

Ejemplo:

Si $n = m$, el límite es $\frac{a_n}{b_m}$; si $n < m$, el límite es $0$; si $n > m$, el límite es $\pm \infty$

Ejemplos

Problema:

Calcular $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+2x-1}{2x^2-x+5}$

Diagrama:

Gráfica de la función racional mostrando la asíntota horizontal $y = \frac{3}{2}$.

Solución:

Dividiendo numerador y denominador por $x^2$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+2x-1}{2x^2-x+5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}} = \frac{3}{2}$.

Límites laterales

Teoría

Los límites laterales estudian el comportamiento de una función cuando $x$ se acerca a un punto desde la izquierda ($x \to a^-$) o desde la derecha ($x \to a^+$). Un límite existe si y solo si ambos límites laterales existen y son iguales.

Fórmulas a usar

Límite por la izquierda

$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ significa el límite cuando $x$ se acerca a $a$ por valores menores que $a$

Diagrama:

Gráfica de función definida por partes mostrando límites laterales diferentes.

Ejemplo:

Para $f(x) = \begin{cases} x+1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases}$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3$

Límite por la derecha

$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ significa el límite cuando $x$ se acerca a $a$ por valores mayores que $a$

Ejemplo:

Para la misma función, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4$

Existencia del límite

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ existe si y solo si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

Ejemplo:

En el ejemplo anterior, como $3 \neq 4$, $\lim_{x \to 2} f(x)$ no existe

Ejemplos

Problema:

Determinar si existe $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{|x|}{x}$ mostrando el salto en $x=0$.

Solución:

$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$ y $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$. Como los límites laterales son diferentes, $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ no existe.

Continuidad

Teoría

Una función $f$ es continua en un punto $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Esto requiere tres condiciones: (1) $f(a)$ está definida, (2) $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, y (3) son iguales. Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo. **Criterios para verificar continuidad (verifica en este orden):** 1. ✅ La función debe estar definida en el punto ($f(a)$ existe) 2. ✅ El límite debe existir ($\lim_{x \to a} f(x)$ existe) 3. ✅ El límite debe ser igual al valor de la función ($\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$)

Fórmulas a usar

Definición de continuidad

$f$ es continua en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Diagrama:

Gráfica de una función continua mostrando que no hay saltos ni huecos.

Ejemplo:

$f(x) = x^2$ es continua en $x=3$ porque $\lim_{x \to 3} x^2 = 9 = f(3)$

Continuidad en un intervalo

$f$ es continua en $(a,b)$ si es continua en cada punto de $(a,b)$

Ejemplo:

Las funciones polinómicas son continuas en $\mathbb{R}$

Continuidad de funciones elementales

Polinomios, funciones racionales (en su dominio), exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas

Ejemplo:

$\sen(x)$, $\cos(x)$, $e^x$, $\ln(x)$ son continuas en sus dominios

Ejemplos

Problema:

Determinar si $f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 2x-1 & x \geq 1 \end{cases}$ es continua en $x=1$

Diagrama:

Gráfica de la función definida por partes mostrando continuidad en $x=1$.

Solución:

{'paso1': 'Verificamos condición 1: $f(1)$ está definida. $f(1) = 2(1)-1 = 1$ ✅', 'paso2': 'Verificamos condición 2: El límite existe. Calculamos límites laterales:\n- $\\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1^-} x^2 = 1^2 = 1$\n- $\\lim_{x \\to 1^+} f(x) = \\lim_{x \\to 1^+} (2x-1) = 2(1)-1 = 1$\nComo ambos límites laterales son iguales, $\\lim_{x \\to 1} f(x) = 1$ ✅', 'paso3': 'Verificamos condición 3: $\\lim_{x \\to 1} f(x) = 1 = f(1)$ ✅', 'resultado': 'Como se cumplen las tres condiciones, la función es continua en $x=1$.'}

Tipos de discontinuidad

Teoría

Una discontinuidad ocurre cuando una función no es continua en un punto. Hay tres tipos principales: removible (el límite existe pero no coincide con el valor de la función), de salto (los límites laterales existen pero son diferentes), e infinita (al menos uno de los límites laterales es infinito).

Fórmulas a usar

Discontinuidad removible

$\lim_{x \to a} f(x)$ existe pero $f(a)$ no está definida o $\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

Diagrama:

Gráfica mostrando un hueco removible en $x=1$.

Ejemplo:

$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ tiene discontinuidad removible en $x=1$ porque $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ pero $f(1)$ no está definida

Discontinuidad de salto

Los límites laterales existen pero son diferentes: $\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Diagrama:

Gráfica mostrando un salto en $x=0$.

Ejemplo:

$f(x) = \begin{cases} x & x < 0 \\ x+1 & x \geq 0 \end{cases}$ tiene discontinuidad de salto en $x=0$

Discontinuidad infinita

Al menos uno de los límites laterales es $\pm \infty$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{1}{x}$ mostrando la asíntota vertical en $x=0$.

Ejemplo:

$f(x) = \frac{1}{x}$ tiene discontinuidad infinita en $x=0$

Ejemplos

Problema:

Clasificar la discontinuidad de $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ en $x=2$

Diagrama:

Gráfica de $y = \frac{x^2-4}{x-2}$ mostrando el hueco removible en $x=2$.

Solución:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$. Como el límite existe pero $f(2)$ no está definida, hay una discontinuidad removible en $x=2$.

Consejos de Estudio

El límite no depende del valor de la función en el punto, solo del comportamiento cerca del punto
Para límites de funciones racionales con forma $\frac{0}{0}$, factoriza o racionaliza
Memoriza el límite fundamental: $\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1$
Los límites laterales deben ser iguales para que el límite exista
Una función es continua si no tiene saltos, huecos ni asíntotas verticales
Para analizar continuidad, verifica: existencia del límite, existencia de $f(a)$ e igualdad
Las discontinuidades removibles se pueden 'reparar' redefiniendo la función en el punto
Usa gráficas para visualizar límites y continuidad