CAP. 7: Geometría Analítica

Estudio de la geometría usando coordenadas cartesianas, incluyendo puntos, rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas.

Distancia entre dos puntos

Teoría

En el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ se calcula usando el teorema de Pitágoras. Esta distancia es fundamental para determinar longitudes, perímetros y relaciones geométricas.

Diagrama:

Plano cartesiano con puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$. Triángulo rectángulo formado por la diferencia horizontal $(x_2-x_1)$ y vertical $(y_2-y_1)$, con la distancia $d$ como hipotenusa.

Fórmulas a usar

Fórmula de distancia

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Gráfica:

Puntos $(2,3)$ y $(5,7)$ en el plano. Segmento de longitud $5$ unidades conectándolos. Triángulo rectángulo con catetos $3$ y $4$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ejemplo:

Distancia entre $(2,3)$ y $(5,7)$: $d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Punto medio

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Gráfica:

Segmento con extremos $(1,2)$ y $(7,8)$, punto medio $(4,5)$ marcado en el centro.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Ejemplo:

Punto medio entre $(1,2)$ y $(7,8)$: $M = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = (4, 5)$

Distancia desde un punto al origen

$d = \sqrt{x^2 + y^2}$

Gráfica:

Punto $(3,4)$ y origen $(0,0)$ conectados. Distancia $5$ unidades.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$

Ejemplo:

Distancia de $(3,4)$ al origen: $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

Ejemplos

Problema:

Hallar la distancia entre los puntos $A(1,2)$ y $B(4,6)$

Gráfica:

Plano cartesiano: punto $A(1,2)$, punto $B(4,6)$, distancia $5$ marcada.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ unidades

Problema:

Hallar el punto medio del segmento que une $(-3, 5)$ y $(7, -1)$

Gráfica:

Segmento de $(-3,5)$ a $(7,-1)$ con punto medio $(2,2)$ marcado.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$M = \left(\frac{-3+7}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right) = (2, 2)$

Punto de división

Teoría

Un punto de división divide un segmento en una razón específica. Si un punto $P$ divide el segmento $AB$ en la razón $m:n$, entonces $P$ está más cerca de $A$ si $m < n$, y más cerca de $B$ si $m > n$.

Diagrama:

Segmento $AB$ con punto $P$ que lo divide. Razón $AP:PB = m:n$. Coordenadas: $A(x_1,y_1)$, $P(x,y)$, $B(x_2,y_2)$.

Fórmulas a usar

Punto de división (división interna)

$P = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ donde $AP:PB = m:n$

Gráfica:

Segmento de $(2,3)$ a $(8,9)$ con punto de división $(4,5)$ que divide en razón $1:2$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $P = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ donde $AP:PB = m:n$

Ejemplo:

Punto que divide $A(2,3)$ y $B(8,9)$ en razón $1:2$: $P = \left(\frac{1(8)+2(2)}{3}, \frac{1(9)+2(3)}{3}\right) = (4, 5)$

Punto medio (caso especial)

Si $m = n = 1$: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Gráfica:

Segmento con punto medio marcado.

Usa herramientas de graficación para visualizar: Si $m = n = 1$: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Ejemplo:

Punto medio de $(3,5)$ y $(7,11)$: $M = (5, 8)$

División externa

$P = \left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}\right)$ (punto fuera del segmento)

Gráfica:

Segmento $AB$ y punto $P$ externo en la prolongación, mostrando la división externa.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $P = \left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}\right)$ (punto fuera del segmento)

Ejemplo:

Punto externo que divide $A(1,2)$ y $B(4,5)$ en razón $3:1$: $P = \left(\frac{3(4)-1(1)}{2}, \frac{3(5)-1(2)}{2}\right) = (5.5, 6.5)$

Ejemplos

Problema:

Hallar el punto que divide el segmento de $A(1,3)$ a $B(9,11)$ en razón $2:3$

Gráfica:

Segmento de $(1,3)$ a $(9,11)$ con punto de división $(4.2, 6.2)$ en razón $2:3$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$P = \left(\frac{2(9)+3(1)}{5}, \frac{2(11)+3(3)}{5}\right) = \left(\frac{21}{5}, \frac{31}{5}\right) = (4.2, 6.2)$

Problema:

Un punto divide al segmento de $(-2, 1)$ a $(4, 7)$ en razón $1:1$. ¿Qué punto es?

Gráfica:

Segmento con punto medio $(1,4)$ marcado.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Es el punto medio: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+7}{2}\right) = (1, 4)$

La recta

Teoría

Una recta en el plano cartesiano puede representarse de varias formas: ecuación punto-pendiente, ecuación pendiente-ordenada al origen, ecuación general, y ecuación simétrica. La pendiente $m$ indica la inclinación de la recta.

Diagrama:

Recta en el plano cartesiano. Punto $(x_1, y_1)$ sobre la recta. Pendiente $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Ángulo de inclinación $\theta$.

Fórmulas a usar

Ecuación punto-pendiente

$y - y_1 = m(x - x_1)$ donde $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Gráfica:

Recta $y = 2x - 1$ pasando por $(2,3)$ con pendiente $2$ (sube $2$ unidades por cada $1$ horizontal).

Usa herramientas de graficación para visualizar: $y - y_1 = m(x - x_1)$ donde $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Ejemplo:

Recta que pasa por $(2,3)$ con pendiente $2$: $y - 3 = 2(x - 2)$, entonces $y = 2x - 1$

Ecuación pendiente-ordenada al origen

$y = mx + b$ donde $m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen

Gráfica:

Recta $y = -3x + 5$ con pendiente negativa, cortando el eje $y$ en $(0,5)$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $y = mx + b$ donde $m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen

Ejemplo:

Recta con pendiente $-3$ y que corta el eje $y$ en $5$: $y = -3x + 5$

Ecuación general

$Ax + By + C = 0$ donde $A$ y $B$ no son ambos cero

Gráfica:

Recta $2x - 3y + 6 = 0$ en el plano cartesiano.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $Ax + By + C = 0$ donde $A$ y $B$ no son ambos cero

Ejemplo:

Recta $2x - 3y + 6 = 0$ puede escribirse como $y = \frac{2}{3}x + 2$

Ecuación simétrica

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ donde $a$ y $b$ son las intersecciones con los ejes

Gráfica:

Recta cortando el eje $x$ en $(4,0)$ y el eje $y$ en $(0,3)$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ donde $a$ y $b$ son las intersecciones con los ejes

Ejemplo:

Recta que corta el eje $x$ en $4$ y el eje $y$ en $3$: $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$

Pendiente de una recta

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan\theta$ donde $\theta$ es el ángulo de inclinación

Gráfica:

Recta pasando por $(1,2)$ y $(4,8)$ con pendiente $2$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan\theta$ donde $\theta$ es el ángulo de inclinación

Ejemplo:

Recta que pasa por $(1,2)$ y $(4,8)$: $m = \frac{8-2}{4-1} = \frac{6}{3} = 2$

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente: $m_1 = m_2$

Gráfica:

Dos rectas paralelas con pendiente $2$, una cortando en $y=3$ y otra en $y=-5$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente: $m_1 = m_2$

Ejemplo:

$y = 2x + 3$ y $y = 2x - 5$ son paralelas (ambas tienen pendiente $2$)

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si $m_1 \cdot m_2 = -1$ o $m_2 = -\frac{1}{m_1}$

Gráfica:

Dos rectas perpendiculares: una con pendiente $2$ y otra con pendiente $-\frac{1}{2}$, formando ángulo recto.

Usa herramientas de graficación para visualizar: Dos rectas son perpendiculares si $m_1 \cdot m_2 = -1$ o $m_2 = -\frac{1}{m_1}$

Ejemplo:

Si $m_1 = 2$, entonces $m_2 = -\frac{1}{2}$ para que sean perpendiculares

Distancia de un punto a una recta

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ donde el punto es $(x_0, y_0)$ y la recta es $Ax + By + C = 0$

Gráfica:

Punto $(2,3)$ y recta $3x+4y-5=0$ con distancia perpendicular marcada.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ donde el punto es $(x_0, y_0)$ y la recta es $Ax + By + C = 0$

Ejemplo:

Distancia del punto $(2,3)$ a la recta $3x + 4y - 5 = 0$: $d = \frac{|3(2)+4(3)-5|}{\sqrt{9+16}} = \frac{13}{5} = 2.6$

Ejemplos

Problema:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por $(2,3)$ y $(5,9)$

Gráfica:

Recta $y = 2x - 1$ pasando por los puntos $(2,3)$ y $(5,9)$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Pendiente: $m = \frac{9-3}{5-2} = 2$. Ecuación: $y - 3 = 2(x - 2)$, entonces $y = 2x - 1$

Problema:

Hallar la ecuación de la recta perpendicular a $y = 3x + 2$ que pasa por $(1,4)$

Gráfica:

Recta original $y = 3x + 2$ y recta perpendicular pasando por $(1,4)$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Pendiente perpendicular: $m = -\frac{1}{3}$. Ecuación: $y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 1)$, entonces $y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$

Problema:

Calcular la distancia del punto $(4,5)$ a la recta $2x - y + 3 = 0$

Gráfica:

Punto $(4,5)$ y recta $2x-y+3=0$ con distancia perpendicular.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$d = \frac{|2(4) - 5 + 3|}{\sqrt{4+1}} = \frac{|6|}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

La circunferencia

Teoría

Una circunferencia es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro. Su ecuación puede estar en forma estándar (centro-radio) o general. La posición relativa entre una recta y una circunferencia puede ser: secante (dos puntos de intersección), tangente (un punto) o exterior (ningún punto).

Diagrama:

Circunferencia con centro $C(h,k)$ y radio $r$. Punto $P(x,y)$ sobre la circunferencia. Distancia $CP = r$.

Fórmulas a usar

Ecuación estándar

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ donde $(h,k)$ es el centro y $r$ es el radio

Gráfica:

Circunferencia con centro $(2,3)$ y radio $4$. Ecuación: $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ donde $(h,k)$ es el centro y $r$ es el radio

Ejemplo:

Circunferencia con centro $(2,3)$ y radio $4$: $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$

Ecuación general

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ donde el centro es $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ y $r = \sqrt{\frac{D^2+E^2}{4} - F}$

Gráfica:

Circunferencia $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ con centro $(2,-3)$ y radio $4$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ donde el centro es $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ y $r = \sqrt{\frac{D^2+E^2}{4} - F}$

Ejemplo:

$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$: centro $(2,-3)$, radio $r = \sqrt{4+9+3} = 4$

Circunferencia con centro en el origen

$x^2 + y^2 = r^2$

Gráfica:

Circunferencia centrada en el origen con radio $5$. Ecuación: $x^2 + y^2 = 25$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $x^2 + y^2 = r^2$

Ejemplo:

Circunferencia con centro $(0,0)$ y radio $5$: $x^2 + y^2 = 25$

Posición relativa recta-circunferencia

Sustituir $y$ de la recta en la ecuación de la circunferencia. Si $\Delta > 0$: secante; $\Delta = 0$: tangente; $\Delta < 0$: exterior

Gráfica:

Circunferencia $x^2 + y^2 = 4$ y recta $y = x + 1$ cortándose en dos puntos (secante).

Usa herramientas de graficación para visualizar: Sustituir $y$ de la recta en la ecuación de la circunferencia. Si $\Delta > 0$: secante; $\Delta = 0$: tangente; $\Delta < 0$: exterior

Ejemplo:

Recta $y = x + 1$ y circunferencia $x^2 + y^2 = 4$. Sustituyendo: $x^2 + (x+1)^2 = 4$, $2x^2 + 2x - 3 = 0$. $\Delta = 4 + 24 = 28 > 0$, entonces es secante

Ecuación de la tangente

Tangente en $(x_1, y_1)$: $(x_1-h)(x-h) + (y_1-k)(y-k) = r^2$

Gráfica:

Circunferencia con centro $(2,3)$ y radio $4$, recta tangente $x = 6$ en el punto $(6,3)$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: Tangente en $(x_1, y_1)$: $(x_1-h)(x-h) + (y_1-k)(y-k) = r^2$

Ejemplo:

Tangente a $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$ en el punto $(6,3)$: $4(x-2) + 0(y-3) = 16$, entonces $x = 6$

Ejemplos

Problema:

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro $(3,-2)$ y radio $5$

Gráfica:

Circunferencia con centro $(3,-2)$ y radio $5$. Ecuación: $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$. Desarrollando: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

Problema:

Determinar el centro y radio de $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 9 = 0$

Gráfica:

Circunferencia con centro $(4,-3)$ y radio $4$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Completando cuadrados: $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 16$. Centro: $(4,-3)$, radio: $4$

Problema:

Hallar los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ y la recta $y = x + 1$

Gráfica:

Circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ y recta $y = x + 1$ intersectándose en $(-4,-3)$ y $(3,4)$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Sustituyendo: $x^2 + (x+1)^2 = 25$, $2x^2 + 2x - 24 = 0$, $x^2 + x - 12 = 0$, $(x+4)(x-3) = 0$. Puntos: $(-4,-3)$ y $(3,4)$

La recta y circunferencia (combinados)

Teoría

Estudiamos las relaciones entre rectas y circunferencias: posiciones relativas (secante, tangente, exterior), cálculo de puntos de intersección, ecuaciones de tangentes y normales, y problemas que combinan ambas figuras.

Diagrama:

Circunferencia y recta en el plano. Tres casos: recta secante (2 puntos), tangente (1 punto), exterior (0 puntos).

Fórmulas a usar

Condición de tangencia

La distancia del centro a la recta es igual al radio: $d = \frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = r$

Gráfica:

Circunferencia con recta tangente mostrando que la distancia del centro a la recta es igual al radio.

Usa herramientas de graficación para visualizar: La distancia del centro a la recta es igual al radio: $d = \frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = r$

Ejemplo:

Recta $3x + 4y - 25 = 0$ es tangente a $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ porque $d = \frac{|3(3)+4(4)-25|}{5} = \frac{0}{5} = 0$ (pasa por el centro, no es tangente). Mejor ejemplo: recta $x = 8$ es tangente a $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$

Ecuación de la tangente desde un punto exterior

Si $P(x_1, y_1)$ es exterior, las tangentes tienen la forma: $(x_1-h)(x-h) + (y_1-k)(y-k) = r^2$ con condición de tangencia

Gráfica:

Circunferencia con punto exterior $(8,0)$ y las dos rectas tangentes desde ese punto.

Usa herramientas de graficación para visualizar: Si $P(x_1, y_1)$ es exterior, las tangentes tienen la forma: $(x_1-h)(x-h) + (y_1-k)(y-k) = r^2$ con condición de tangencia

Ejemplo:

Tangentes desde $(8,0)$ a $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$: usar condición de tangencia para encontrar las ecuaciones

Longitud de la tangente

$L = \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2 - r^2}$ desde punto exterior $(x_1, y_1)$

Gráfica:

Circunferencia con punto exterior y segmento tangente de longitud $L$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $L = \sqrt{(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2 - r^2}$ desde punto exterior $(x_1, y_1)$

Ejemplo:

Longitud de tangente desde $(8,0)$ a $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$: $L = \sqrt{(8-3)^2 + (0-4)^2 - 25} = \sqrt{25+16-25} = 4$

Ecuación de la normal

La normal es perpendicular a la tangente y pasa por el punto de tangencia y el centro

Gráfica:

Circunferencia con recta tangente y normal (radio) en el punto de tangencia.

Usa herramientas de graficación para visualizar: La normal es perpendicular a la tangente y pasa por el punto de tangencia y el centro

Ejemplo:

Normal a $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$ en $(6,3)$: pasa por $(2,3)$ y $(6,3)$, entonces $y = 3$

Ejemplos

Problema:

Determinar la posición relativa entre la recta $y = 2x + 1$ y la circunferencia $x^2 + y^2 = 5$

Gráfica:

Circunferencia $x^2 + y^2 = 5$ y recta $y = 2x + 1$ intersectándose en dos puntos.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Sustituyendo: $x^2 + (2x+1)^2 = 5$, $5x^2 + 4x - 4 = 0$. $\Delta = 16 + 80 = 96 > 0$, entonces es secante (dos puntos de intersección)

Problema:

Hallar la ecuación de la recta tangente a $x^2 + y^2 = 25$ en el punto $(3,4)$

Gráfica:

Circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ con recta tangente $3x + 4y = 25$ en el punto $(3,4)$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Tangente: $3x + 4y = 25$ (usando fórmula de tangente). Verificación: $(3,4)$ satisface y la distancia del centro a la recta es $5$

Problema:

Calcular la longitud de la tangente desde $(10,0)$ a la circunferencia $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$

Gráfica:

Circunferencia con punto exterior $(10,0)$ y segmento tangente de longitud $2\sqrt{10}$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$L = \sqrt{(10-3)^2 + (0-4)^2 - 25} = \sqrt{49 + 16 - 25} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Parábola

Teoría

Una parábola es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Tiene un vértice, un eje de simetría, y puede abrir hacia arriba, abajo, izquierda o derecha según su ecuación.

Diagrama:

Parábola con vértice $V(h,k)$, foco $F$, directriz $d$, y eje de simetría. Punto $P$ sobre la parábola equidistante del foco y la directriz.

Fórmulas a usar

Parábola vertical (abre hacia arriba)

$(x-h)^2 = 4p(y-k)$ donde $p$ es la distancia del vértice al foco. Foco: $(h, k+p)$, directriz: $y = k-p$

Gráfica:

Parábola $(x-2)^2 = 8(y-1)$ abriendo hacia arriba. Vértice $(2,1)$, foco $(2,3)$, directriz $y = -1$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ donde $p$ es la distancia del vértice al foco. Foco: $(h, k+p)$, directriz: $y = k-p$

Ejemplo:

Parábola $(x-2)^2 = 8(y-1)$: vértice $(2,1)$, $p=2$, foco $(2,3)$, directriz $y = -1$

Parábola vertical (abre hacia abajo)

$(x-h)^2 = -4p(y-k)$ con foco $(h, k-p)$ y directriz $y = k+p$

Gráfica:

Parábola $(x+1)^2 = -12(y-3)$ abriendo hacia abajo. Vértice $(-1,3)$, foco $(-1,0)$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $(x-h)^2 = -4p(y-k)$ con foco $(h, k-p)$ y directriz $y = k+p$

Ejemplo:

Parábola $(x+1)^2 = -12(y-3)$: vértice $(-1,3)$, $p=3$, foco $(-1,0)$, directriz $y = 6$

Parábola horizontal (abre hacia la derecha)

$(y-k)^2 = 4p(x-h)$ con foco $(h+p, k)$ y directriz $x = h-p$

Gráfica:

Parábola $(y-2)^2 = 16(x-1)$ abriendo hacia la derecha. Vértice $(1,2)$, foco $(5,2)$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ con foco $(h+p, k)$ y directriz $x = h-p$

Ejemplo:

Parábola $(y-2)^2 = 16(x-1)$: vértice $(1,2)$, $p=4$, foco $(5,2)$, directriz $x = -3$

Parábola horizontal (abre hacia la izquierda)

$(y-k)^2 = -4p(x-h)$ con foco $(h-p, k)$ y directriz $x = h+p$

Gráfica:

Parábola $(y+3)^2 = -8(x-2)$ abriendo hacia la izquierda. Vértice $(2,-3)$, foco $(0,-3)$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $(y-k)^2 = -4p(x-h)$ con foco $(h-p, k)$ y directriz $x = h+p$

Ejemplo:

Parábola $(y+3)^2 = -8(x-2)$: vértice $(2,-3)$, $p=2$, foco $(0,-3)$, directriz $x = 4$

Parábola con vértice en el origen

$x^2 = 4py$ (vertical) o $y^2 = 4px$ (horizontal)

Gráfica:

Parábola $y^2 = 8x$ con vértice en el origen, abriendo hacia la derecha.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $x^2 = 4py$ (vertical) o $y^2 = 4px$ (horizontal)

Ejemplo:

$y^2 = 8x$: vértice $(0,0)$, $p=2$, foco $(2,0)$, directriz $x = -2$

Ecuación general de la parábola

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ donde $B^2 - 4AC = 0$

Gráfica:

Parábola en forma general convertida a forma estándar.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ donde $B^2 - 4AC = 0$

Ejemplo:

$x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$ completando cuadrados: $(x-2)^2 = 8(y-1)$

Ejemplos

Problema:

Hallar el vértice, foco y directriz de la parábola $y^2 - 8x + 6y + 25 = 0$

Gráfica:

Parábola $(y+3)^2 = 8(x-2)$ con vértice $(2,-3)$, foco $(4,-3)$, directriz $x = 0$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Completando cuadrados: $(y+3)^2 = 8(x-2)$. Vértice: $(2,-3)$, $p=2$, foco: $(4,-3)$, directriz: $x = 0$

Problema:

Escribir la ecuación de la parábola con vértice $(3,1)$ y foco $(3,4)$

Gráfica:

Parábola $(x-3)^2 = 12(y-1)$ con vértice $(3,1)$ y foco $(3,4)$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$p = 4 - 1 = 3$. Como abre hacia arriba: $(x-3)^2 = 12(y-1)$

Problema:

Hallar la ecuación de la parábola con directriz $x = -2$ y foco $(4,0)$

Gráfica:

Parábola $y^2 = 12(x-1)$ con foco $(4,0)$ y directriz $x = -2$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Vértice: punto medio entre foco y directriz: $(1,0)$. $p = 3$. Ecuación: $(y-0)^2 = 12(x-1)$, entonces $y^2 = 12(x-1)$

Elipse

Teoría

Una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Tiene un centro, dos ejes (mayor y menor), y puede estar orientada horizontal o verticalmente.

Diagrama:

Elipse con centro $C(h,k)$, focos $F_1$ y $F_2$, eje mayor de longitud $2a$, eje menor de longitud $2b$. Punto $P$ sobre la elipse: $PF_1 + PF_2 = 2a$.

Fórmulas a usar

Elipse horizontal (eje mayor horizontal)

$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ donde $a > b$. Focos: $(h \pm c, k)$ con $c^2 = a^2 - b^2$

Gráfica:

Elipse horizontal $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1$ con centro $(2,3)$, focos en $(6,3)$ y $(-2,3)$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ donde $a > b$. Focos: $(h \pm c, k)$ con $c^2 = a^2 - b^2$

Ejemplo:

Elipse $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1$: centro $(2,3)$, $a=5$, $b=3$, $c=4$, focos $(6,3)$ y $(-2,3)$

Elipse vertical (eje mayor vertical)

$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$ donde $a > b$. Focos: $(h, k \pm c)$

Gráfica:

Elipse vertical $\frac{x^2}{9} + \frac{(y-1)^2}{25} = 1$ con centro $(0,1)$, focos en $(0,5)$ y $(0,-3)$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$ donde $a > b$. Focos: $(h, k \pm c)$

Ejemplo:

Elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{(y-1)^2}{25} = 1$: centro $(0,1)$, $a=5$, $b=3$, $c=4$, focos $(0,5)$ y $(0,-3)$

Elipse con centro en el origen

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Gráfica:

Elipse $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ centrada en el origen con focos en el eje $x$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Ejemplo:

Elipse $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$: $a=4$, $b=3$, $c=\sqrt{7}$, focos $(\pm\sqrt{7}, 0)$

Excentricidad

$e = \frac{c}{a}$ donde $0 < e < 1$. Mide qué tan alargada está la elipse

Gráfica:

Elipse con excentricidad $e = 0.6$ mostrando su forma.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $e = \frac{c}{a}$ donde $0 < e < 1$. Mide qué tan alargada está la elipse

Ejemplo:

Elipse con $a=5$, $c=3$: $e = \frac{3}{5} = 0.6$

Relación fundamental

$c^2 = a^2 - b^2$ o $b^2 = a^2 - c^2$

Gráfica:

Elipse mostrando la relación entre $a$, $b$ y $c$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $c^2 = a^2 - b^2$ o $b^2 = a^2 - c^2$

Ejemplo:

Si $a=5$ y $b=3$: $c = \sqrt{25-9} = 4$

Ejemplos

Problema:

Hallar los focos y vértices de la elipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$

Gráfica:

Elipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$ con centro $(1,-2)$, focos y vértices marcados.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Centro: $(1,-2)$, $a=4$, $b=3$, $c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$. Vértices: $(5,-2)$, $(-3,-2)$, $(1,1)$, $(1,-5)$. Focos: $(1\pm\sqrt{7}, -2)$

Problema:

Escribir la ecuación de la elipse con focos $(0,3)$ y $(0,-3)$ y eje mayor de longitud $10$

Gráfica:

Elipse vertical $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ con focos en $(0,3)$ y $(0,-3)$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Centro: $(0,0)$, $c=3$, $a=5$, entonces $b=\sqrt{25-9}=4$. Ecuación: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$

Problema:

Calcular la excentricidad de la elipse $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

Gráfica:

Elipse $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ con excentricidad $0.6$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$a=5$, $b=4$, $c=\sqrt{25-16}=3$. Excentricidad: $e = \frac{3}{5} = 0.6$

Hipérbola

Teoría

Una hipérbola es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Tiene un centro, dos ramas, asíntotas, y puede estar orientada horizontal o verticalmente.

Diagrama:

Hipérbola con centro $C(h,k)$, focos $F_1$ y $F_2$, vértices $V_1$ y $V_2$. Punto $P$ sobre la hipérbola: $|PF_1 - PF_2| = 2a$. Asíntotas pasando por el centro.

Fórmulas a usar

Hipérbola horizontal (ramas izquierda y derecha)

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ donde los focos son $(h \pm c, k)$ con $c^2 = a^2 + b^2$

Gráfica:

Hipérbola horizontal $\frac{(x-2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$ con centro $(2,1)$, focos y asíntotas marcadas.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ donde los focos son $(h \pm c, k)$ con $c^2 = a^2 + b^2$

Ejemplo:

Hipérbola $\frac{(x-2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$: centro $(2,1)$, $a=3$, $b=4$, $c=5$, focos $(7,1)$ y $(-3,1)$

Hipérbola vertical (ramas superior e inferior)

$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ donde los focos son $(h, k \pm c)$

Gráfica:

Hipérbola vertical $\frac{(y-3)^2}{4} - \frac{x^2}{5} = 1$ con ramas arriba y abajo, asíntotas marcadas.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ donde los focos son $(h, k \pm c)$

Ejemplo:

Hipérbola $\frac{(y-3)^2}{4} - \frac{x^2}{5} = 1$: centro $(0,3)$, $a=2$, $b=\sqrt{5}$, $c=3$, focos $(0,6)$ y $(0,0)$

Hipérbola con centro en el origen

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (horizontal) o $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ (vertical)

Gráfica:

Hipérbola $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ centrada en el origen con ramas izquierda y derecha.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (horizontal) o $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ (vertical)

Ejemplo:

Hipérbola $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$: $a=3$, $b=4$, $c=5$, focos $(\pm 5, 0)$

Ecuaciones de las asíntotas

Para $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$: $y-k = \pm\frac{b}{a}(x-h)$

Gráfica:

Hipérbola con sus dos asíntotas $y = \pm\frac{4}{3}x$ pasando por el centro.

Usa herramientas de graficación para visualizar: Para $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$: $y-k = \pm\frac{b}{a}(x-h)$

Ejemplo:

Asíntotas de $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$: $y = \pm\frac{4}{3}x$

Excentricidad

$e = \frac{c}{a}$ donde $e > 1$. Mide qué tan abierta está la hipérbola

Gráfica:

Hipérbola con excentricidad $e = 1.67$ mostrando su forma abierta.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $e = \frac{c}{a}$ donde $e > 1$. Mide qué tan abierta está la hipérbola

Ejemplo:

Hipérbola con $a=3$, $c=5$: $e = \frac{5}{3} \approx 1.67$

Relación fundamental

$c^2 = a^2 + b^2$ o $b^2 = c^2 - a^2$

Gráfica:

Hipérbola mostrando la relación entre $a$, $b$ y $c$.

Usa herramientas de graficación para visualizar: $c^2 = a^2 + b^2$ o $b^2 = c^2 - a^2$

Ejemplo:

Si $a=4$ y $c=5$: $b = \sqrt{25-16} = 3$

Ejemplos

Problema:

Hallar los focos, vértices y asíntotas de la hipérbola $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$

Gráfica:

Hipérbola $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ con vértices $(\pm 4,0)$, focos $(\pm 5,0)$ y asíntotas $y = \pm\frac{3}{4}x$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$a=4$, $b=3$, $c=\sqrt{16+9}=5$. Vértices: $(\pm 4, 0)$. Focos: $(\pm 5, 0)$. Asíntotas: $y = \pm\frac{3}{4}x$

Problema:

Escribir la ecuación de la hipérbola con focos $(0,5)$ y $(0,-5)$ y vértices $(0,3)$ y $(0,-3)$

Gráfica:

Hipérbola vertical $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ con focos en $(0,\pm 5)$ y vértices en $(0,\pm 3)$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

Centro: $(0,0)$, $a=3$, $c=5$, entonces $b=\sqrt{25-9}=4$. Ecuación: $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$

Problema:

Hallar la excentricidad y las asíntotas de $\frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{5} = 1$

Gráfica:

Hipérbola $\frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{5} = 1$ con centro $(2,-1)$, asíntotas y excentricidad $1.5$.

Representa gráficamente en el plano cartesiano para visualizar la solución

Solución:

$a=2$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{4+5}=3$. Excentricidad: $e = \frac{3}{2} = 1.5$. Asíntotas: $y+1 = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}(x-2)$

Consejos de Estudio

Memoriza las fórmulas de distancia y punto medio
Practica identificando el centro y radio de circunferencias
Aprende a reconocer las formas estándar de las cónicas
Usa gráficas para visualizar las ecuaciones
Para parábolas, identifica la dirección de apertura
Para elipses, recuerda que $a$ es siempre mayor que $b$
Para hipérbolas, las asíntotas son fundamentales para graficar
Completa cuadrados para convertir ecuaciones generales a forma estándar
Dibuja las gráficas en papel para entender mejor las relaciones