CAP. 3: Trigonometría Plana y Sistemas de Ecuaciones Trigonométricas
Estudio de ángulos, razones trigonométricas, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y resolución de triángulos.
Conceptos Clave
Ángulos y sistemas angulares
Razones trigonométricas y ángulos notables
Identidades trigonométricas de ángulo simple
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos y múltiples
Transformaciones de suma a producto y de producto a suma
Ecuaciones trigonométricas
Sistemas de ecuaciones trigonométricas
Problemas sobre triángulos rectángulos y oblicuángulos
Propiedades y Fórmulas
Identidad fundamental
Fórmula:
$\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
Ejemplo sencillo:
Para $\theta = 30°$: $\sen^2 30° + \cos^2 30° = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
Seno de suma
Fórmula:
$\sen(A+B) = \sen A \cos B + \cos A \sen B$
Ejemplo sencillo:
$\sen(30° + 45°) = \sen 30° \cos 45° + \cos 30° \sen 45° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$
Ley de senos
Fórmula:
$\frac{a}{\sen A} = \frac{b}{\sen B} = \frac{c}{\sen C}$
Ejemplo sencillo:
En un triángulo con $a = 5$, $A = 30°$, $B = 45°$: $\frac{5}{\sen 30°} = \frac{b}{\sen 45°}$, entonces $b = \frac{5 \cdot \sen 45°}{\sen 30°} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{2}$
Ejemplos Prácticos
Calcular razones trigonométricas
Problema:
Calcular $\sen 30°$, $\cos 30°$ y $\tan 30°$
Solución:
$\sen 30° = \frac{1}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Resolver ecuación trigonométrica
Problema:
Resolver $\sen x = \frac{1}{2}$ en $[0, 2\pi)$
Solución:
$x = \frac{\pi}{6}$ o $x = \frac{5\pi}{6}$
Consejos de Estudio
- Memoriza los valores de las razones trigonométricas para ángulos notables
- Practica las identidades trigonométricas fundamentales
- Usa el círculo unitario para visualizar las funciones trigonométricas
- Para triángulos, identifica si es rectángulo u oblicuángulo