CAP. 2: Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
Estudio de ecuaciones lineales, cuadráticas, sistemas de ecuaciones y inecuaciones algebraicas racionales, incluyendo problemas de planteo.
Ecuaciones con una incógnita
Teoría
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contiene una o más incógnitas. Resolver una ecuación significa encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.
Fórmulas a usar
Ecuación lineal (de primer grado)
$ax + b = 0$ donde $a \neq 0$, solución: $x = -\frac{b}{a}$
Ejemplo:
Resolver $3x - 6 = 0$: $3x = 6$, entonces $x = 2$
Propiedades de igualdad
Si $a = b$, entonces $a + c = b + c$ y $ac = bc$ (con $c \neq 0$ para la multiplicación)
Ejemplo:
En $2x + 3 = 7$, restamos 3: $2x = 4$, luego dividimos por 2: $x = 2$
Ecuaciones con fracciones
Multiplicar ambos lados por el mínimo común múltiplo de los denominadores
Ejemplo:
Resolver $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$: MCM(2,3)=6, entonces $3x + 2x = 30$, $5x = 30$, $x = 6$
Ecuaciones con radicales
Aislar el radical y elevar ambos lados al cuadrado (verificar soluciones)
Ejemplo:
Resolver $\sqrt{x+1} = 3$: elevando al cuadrado: $x+1 = 9$, entonces $x = 8$. Verificación: $\sqrt{8+1} = 3$ ✓
Ejemplos
Problema:
Resolver $5x - 3 = 2x + 9$
Solución:
$5x - 2x = 9 + 3$, $3x = 12$, entonces $x = 4$
Problema:
Resolver $\frac{2x-1}{3} = \frac{x+2}{4}$
Solución:
Multiplicando por 12: $4(2x-1) = 3(x+2)$, $8x - 4 = 3x + 6$, $5x = 10$, entonces $x = 2$
Problema:
Resolver $\sqrt{2x+3} = 5$
Solución:
Elevando al cuadrado: $2x + 3 = 25$, $2x = 22$, entonces $x = 11$. Verificación: $\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5$ ✓
Ecuaciones de segundo grado
Teoría
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$. Se puede resolver por factorización, completando el cuadrado o usando la fórmula cuadrática.
Fórmulas a usar
Fórmula cuadrática
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Ejemplo:
Para $x^2 - 5x + 6 = 0$: $x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$, entonces $x = 3$ o $x = 2$
Discriminante
$\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$: dos soluciones reales distintas; $\Delta = 0$: una solución doble; $\Delta < 0$: soluciones complejas
Ejemplo:
En $x^2 - 5x + 6 = 0$: $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$, entonces hay dos soluciones reales
Suma y producto de raíces (Teorema de Vieta)
Si $ax^2 + bx + c = 0$ tiene raíces $r_1$ y $r_2$: $r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}$ y $r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}$
Ejemplo:
Para $x^2 - 5x + 6 = 0$: suma = $5$, producto = $6$. Las raíces son $2$ y $3$
Factorización
Si $ax^2 + bx + c = a(x-r_1)(x-r_2)$ donde $r_1$ y $r_2$ son las raíces
Ejemplo:
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$
Completar el cuadrado
$x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c$
Ejemplo:
$x^2 + 6x + 5 = (x+3)^2 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4$
Ejemplos
Problema:
Resolver $x^2 - 5x + 6 = 0$ por factorización
Solución:
Factorizando: $(x-2)(x-3) = 0$, entonces $x = 2$ o $x = 3$
Problema:
Resolver $2x^2 - 7x + 3 = 0$ usando la fórmula cuadrática
Solución:
$x = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$, entonces $x = 3$ o $x = \frac{1}{2}$
Problema:
Resolver $x^2 + 4x - 5 = 0$ completando el cuadrado
Solución:
$x^2 + 4x = 5$, $(x+2)^2 = 5 + 4 = 9$, entonces $x+2 = \pm 3$, por lo tanto $x = 1$ o $x = -5$
Sistemas de ecuaciones de grado superior
Teoría
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Se resuelve encontrando los valores que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Los métodos principales son sustitución, igualación, reducción y determinantes.
Fórmulas a usar
Método de sustitución
Despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra
Ejemplo:
De $x + y = 5$ despejamos $y = 5-x$. Sustituyendo en $2x - y = 1$: $2x - (5-x) = 1$, entonces $3x = 6$, $x = 2$, $y = 3$
Método de igualación
Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar
Ejemplo:
De $x + y = 5$: $x = 5-y$. De $2x - y = 1$: $x = \frac{1+y}{2}$. Igualando: $5-y = \frac{1+y}{2}$, entonces $y = 3$, $x = 2$
Método de reducción (eliminación)
Multiplicar ecuaciones para eliminar una incógnita al sumar o restar
Ejemplo:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$: sumando: $2x = 6$, entonces $x = 3$, $y = 2$
Regla de Cramer (2x2)
Para $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$: $x = \frac{D_x}{D}$, $y = \frac{D_y}{D}$ donde $D = a_1b_2 - a_2b_1$
Ejemplo:
Para $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$: $D = 2(-1) - 1(3) = -5$, $D_x = 7(-1) - 1(3) = -10$, $D_y = 2(1) - 1(7) = -5$, entonces $x = 2$, $y = 1$
Ejemplos
Problema:
Resolver $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Solución:
Sumando: $2x = 6$, entonces $x = 3$. Sustituyendo: $3 + y = 5$, entonces $y = 2$. Solución: $(3, 2)$
Problema:
Resolver $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}$
Solución:
Multiplicando primera por 2 y segunda por 3: $\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 9x - 6y = 12 \end{cases}$. Sumando: $13x = 26$, $x = 2$. Sustituyendo: $2(2) + 3y = 7$, $y = 1$. Solución: $(2, 1)$
Problema:
Resolver $\begin{cases} x^2 + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$
Solución:
De la segunda: $y = 3-x$. Sustituyendo en la primera: $x^2 + (3-x) = 5$, $x^2 - x - 2 = 0$, $(x-2)(x+1) = 0$. Si $x = 2$: $y = 1$. Si $x = -1$: $y = 4$. Soluciones: $(2, 1)$ y $(-1, 4)$
Problemas de planteo
Teoría
Los problemas de planteo consisten en traducir situaciones del lenguaje común al lenguaje algebraico mediante ecuaciones. Requieren identificar las incógnitas, establecer relaciones y resolver el sistema de ecuaciones resultante.
Fórmulas a usar
Estrategia general
1) Leer y entender el problema. 2) Identificar incógnitas. 3) Plantear ecuaciones. 4) Resolver. 5) Verificar la solución
Ejemplo:
Problema: 'La suma de dos números es 10 y su diferencia es 4'. Incógnitas: $x$ y $y$. Ecuaciones: $x+y=10$, $x-y=4$. Solución: $x=7$, $y=3$
Problemas de edades
Establecer relaciones temporales entre edades
Ejemplo:
'Juan tiene el doble de la edad de Pedro. Hace 5 años, Juan tenía el triple de la edad de Pedro'. Si $x$ = edad de Pedro: $2x - 5 = 3(x-5)$, entonces $x = 10$, Juan tiene 20 años
Problemas de números
Relacionar dígitos, suma, diferencia, producto, etc.
Ejemplo:
'Un número de dos dígitos, la suma de sus dígitos es 9 y si se invierten los dígitos, el número aumenta en 27'. Si el número es $10a+b$: $a+b=9$ y $10b+a = 10a+b+27$, entonces $a=3$, $b=6$, el número es 36
Problemas de trabajo
Si $A$ hace el trabajo en $a$ horas y $B$ en $b$ horas, juntos: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$ donde $t$ es el tiempo juntos
Ejemplo:
Si $A$ tarda 6 horas y $B$ tarda 4 horas: $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{t}$, entonces $t = \frac{12}{5} = 2.4$ horas
Ejemplos
Problema:
La suma de dos números es 15 y su diferencia es 3. Hallar los números.
Solución:
Sean $x$ y $y$ los números: $x+y=15$ y $x-y=3$. Sumando: $2x=18$, $x=9$. Entonces $y=6$. Los números son 9 y 6
Problema:
Un padre tiene 3 veces la edad de su hijo. Hace 5 años tenía 4 veces la edad del hijo. ¿Qué edades tienen?
Solución:
Sea $x$ la edad del hijo. El padre tiene $3x$ años. Hace 5 años: $3x-5 = 4(x-5)$, entonces $3x-5 = 4x-20$, $x=15$. El hijo tiene 15 años y el padre 45 años
Problema:
Un número excede a otro en 8. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 3 y el residuo es 2. Hallar los números.
Solución:
Sean $x$ el mayor y $y$ el menor: $x = y + 8$ y $x = 3y + 2$. Igualando: $y+8 = 3y+2$, entonces $y=3$ y $x=11$. Los números son 11 y 3
Inecuaciones algebraicas racionales
Teoría
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Resolver una inecuación significa encontrar todos los valores de la incógnita que satisfacen la desigualdad. Las inecuaciones racionales involucran fracciones algebraicas.
Fórmulas a usar
Propiedades de desigualdades
Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$ y si $c > 0$: $ac < bc$; si $c < 0$: $ac > bc$ (se invierte el signo)
Ejemplo:
En $2x < 6$: dividiendo por 2 (positivo): $x < 3$. En $-2x < 6$: dividiendo por -2 (negativo): $x > -3$
Inecuación lineal
$ax + b < 0$ (o $>$, $\leq$, $\geq$). Solución: $x < -\frac{b}{a}$ si $a > 0$
Ejemplo:
$3x - 6 < 0$: $3x < 6$, entonces $x < 2$. Solución: $(-\infty, 2)$
Inecuación cuadrática
$ax^2 + bx + c < 0$. Factorizar y analizar signos en intervalos determinados por las raíces
Ejemplo:
$x^2 - 5x + 6 < 0$: $(x-2)(x-3) < 0$. Análisis: negativo en $(2, 3)$, positivo fuera. Solución: $(2, 3)$
Inecuación racional
$\frac{P(x)}{Q(x)} < 0$. Encontrar puntos críticos (raíces y asíntotas) y analizar signos en intervalos
Ejemplo:
$\frac{x-2}{x+1} < 0$: puntos críticos $x = 2$ y $x = -1$. Análisis: negativo en $(-1, 2)$. Solución: $(-1, 2)$
Método de puntos críticos
1) Factorizar. 2) Encontrar puntos críticos. 3) Construir tabla de signos. 4) Determinar intervalos solución
Ejemplo:
Para $\frac{x-1}{x-3} \geq 0$: puntos críticos $x=1$ y $x=3$. Solución: $(-\infty, 1] \cup (3, \infty)$
Ejemplos
Problema:
Resolver $2x - 5 < 3$
Solución:
$2x < 8$, entonces $x < 4$. Solución: $(-\infty, 4)$
Problema:
Resolver $x^2 - 4x + 3 > 0$
Solución:
Factorizando: $(x-1)(x-3) > 0$. Análisis: positivo en $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. Solución: $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
Problema:
Resolver $\frac{x+2}{x-1} \leq 0$
Solución:
Puntos críticos: $x = -2$ y $x = 1$. Análisis: negativo en $(-2, 1)$ y cero en $x = -2$. Solución: $[-2, 1)$ (nota: $x = 1$ no está incluido porque hace cero el denominador)
Problema:
Resolver $\frac{x^2 - 4}{x+3} > 0$
Solución:
Factorizando: $\frac{(x+2)(x-2)}{x+3} > 0$. Puntos críticos: $x = -3, -2, 2$. Análisis: positivo en $(-3, -2) \cup (2, \infty)$. Solución: $(-3, -2) \cup (2, \infty)$
Consejos de Estudio
- Practica la factorización para resolver ecuaciones cuadráticas
- Aprende a plantear problemas de texto como ecuaciones
- Revisa las soluciones sustituyendo en la ecuación original
- Para inecuaciones, identifica los puntos críticos y construye tablas de signos
- En inecuaciones racionales, verifica que el denominador no sea cero
- Para sistemas, elige el método más conveniente según el caso
- En problemas de planteo, lee cuidadosamente y verifica que la solución tenga sentido