CAP. 6: Geometría Euclidiana

Estudio de ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos, circunferencias, proporcionalidad, semejanza y áreas de regiones planas.

Ángulos y triángulos

Teoría

Un ángulo es la abertura formada por dos rayos (lados) que comparten un punto común (vértice). Los triángulos son polígonos de tres lados y tres ángulos. Se clasifican según sus lados (equilátero, isósceles, escaleno) y según sus ángulos (rectángulo, acutángulo, obtusángulo).

Diagrama:

Triángulo ABC con vértices A, B, C. Ángulos: ∠A, ∠B, ∠C. Lados opuestos: a (opuesto a A), b (opuesto a B), c (opuesto a C).

Fórmulas a usar

Suma de ángulos internos de un triángulo

$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$

Diagrama:

Triángulo con ángulos marcados: 60° en A, 70° en B, 50° en C

Ejemplo:

En un triángulo con ángulos $60°$ y $70°$: el tercer ángulo es $180° - 60° - 70° = 50°$

Suma de ángulos externos

La suma de los ángulos externos de un triángulo es $360°$

Ejemplo:

Si los ángulos internos son $60°, 70°, 50°$, los externos son $120°, 110°, 130°$ y suman $360°$

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo: $a^2 + b^2 = c^2$ donde $c$ es la hipotenusa

Diagrama:

Triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4 unidades, hipotenusa de 5 unidades. Ángulo recto marcado en el vértice

Ejemplo:

Triángulo rectángulo con catetos $3$ y $4$: hipotenusa $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

Teorema de la desigualdad triangular

En cualquier triángulo: $a + b > c$, $a + c > b$, $b + c > a$

Ejemplo:

Si $a = 5$, $b = 7$, entonces $c < 12$ para que exista el triángulo

Clasificación por lados

Equilátero: $a = b = c$. Isósceles: dos lados iguales. Escaleno: todos los lados diferentes

Diagrama:

Tres triángulos: equilátero (todos los lados iguales), isósceles (dos lados iguales), escaleno (todos diferentes)

Ejemplo:

Triángulo equilátero: todos los lados miden $5$ cm. Triángulo isósceles: dos lados de $6$ cm y uno de $8$ cm

Clasificación por ángulos

Rectángulo: un ángulo de $90°$. Acutángulo: todos los ángulos $< 90°$. Obtusángulo: un ángulo $> 90°$

Diagrama:

Tres triángulos: rectángulo (ángulo recto marcado), acutángulo (todos los ángulos agudos), obtusángulo (un ángulo obtuso)

Ejemplo:

Triángulo rectángulo: ángulos $90°, 30°, 60°$. Triángulo acutángulo: $60°, 70°, 50°$

Ejemplos

Problema:

En un triángulo, dos ángulos miden $45°$ y $60°$. Hallar el tercer ángulo.

Diagrama:

Triángulo con ángulos marcados: 45°, 60°, 75°

Solución:

El tercer ángulo es $180° - 45° - 60° = 75°$

Problema:

En un triángulo rectángulo, los catetos miden $5$ cm y $12$ cm. Hallar la hipotenusa.

Diagrama:

Triángulo rectángulo con catetos de 5 y 12 cm, hipotenusa de 13 cm. Ángulo recto marcado

Solución:

Aplicando Pitágoras: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm

Problema:

Determinar si existe un triángulo con lados $7$, $10$ y $18$.

Solución:

Verificando: $7 + 10 = 17 < 18$. No se cumple la desigualdad triangular, por lo tanto no existe tal triángulo

Líneas y puntos notables del triángulo

Teoría

En un triángulo existen líneas y puntos especiales con propiedades importantes: medianas (unen vértice con punto medio del lado opuesto), alturas (perpendiculares desde vértice al lado opuesto), bisectrices (dividen el ángulo en dos partes iguales), y mediatrices (perpendiculares que pasan por el punto medio de cada lado).

Diagrama:

Triángulo ABC mostrando: mediana desde A al punto medio de BC, altura desde A perpendicular a BC, bisectriz del ángulo A, y mediatriz del lado BC

Fórmulas a usar

Baricentro (intersección de medianas)

El baricentro divide cada mediana en razón $2:1$ (más cerca del vértice). Coordenadas: $G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$

Diagrama:

Triángulo con sus tres medianas y el baricentro G marcado en su intersección

Ejemplo:

Si los vértices son $(0,0)$, $(6,0)$, $(3,6)$, el baricentro es $(3, 2)$

Ortocentro (intersección de alturas)

Punto donde se cortan las tres alturas del triángulo

Diagrama:

Triángulo con sus tres alturas y el ortocentro H marcado

Ejemplo:

En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto

Incentro (intersección de bisectrices)

Centro de la circunferencia inscrita. Equidista de los tres lados. Distancia al lado: $r = \frac{A}{s}$ donde $s$ es el semiperímetro

Diagrama:

Triángulo con sus tres bisectrices, el incentro I y la circunferencia inscrita tangente a los tres lados

Ejemplo:

En un triángulo equilátero, el incentro coincide con el baricentro y el circuncentro

Circuncentro (intersección de mediatrices)

Centro de la circunferencia circunscrita. Equidista de los tres vértices

Diagrama:

Triángulo con sus tres mediatrices, el circuncentro O y la circunferencia circunscrita pasando por los tres vértices

Ejemplo:

En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa

Teorema de la mediana

En un triángulo, la mediana $m_a$ desde el vértice $A$ cumple: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Ejemplo:

Si $a=6$, $b=5$, $c=7$: $m_a^2 = \frac{2(25) + 2(49) - 36}{4} = \frac{112}{4} = 28$, entonces $m_a = 2\sqrt{7}$

Ejemplos

Problema:

En un triángulo con vértices $(0,0)$, $(8,0)$, $(4,6)$, hallar el baricentro.

Diagrama:

Triángulo en el plano cartesiano con vértices marcados y baricentro G en (4,2)

Solución:

$G = \left(\frac{0+8+4}{3}, \frac{0+0+6}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (4, 2)$

Problema:

En un triángulo rectángulo con catetos de $6$ y $8$ cm, ¿dónde está el ortocentro?

Diagrama:

Triángulo rectángulo con el ortocentro H en el vértice del ángulo recto

Solución:

En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto

Cuadriláteros

Teoría

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Se clasifican en: paralelogramos (lados opuestos paralelos), trapecios (un par de lados paralelos), y trapezoides (ningún par de lados paralelos). Los paralelogramos incluyen rectángulos, rombos y cuadrados.

Diagrama:

Cuadrilátero ABCD con vértices A, B, C, D. Lados: AB, BC, CD, DA. Ángulos internos: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D

Fórmulas a usar

Suma de ángulos internos

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$

Diagrama:

Cuadrilátero con los cuatro ángulos marcados sumando 360°

Ejemplo:

Si tres ángulos son $80°, 100°, 90°$, el cuarto es $360° - 270° = 90°$

Área del paralelogramo

$A = base \cdot altura$

Diagrama:

Paralelogramo con base y altura marcadas perpendicularmente

Ejemplo:

Paralelogramo con base $8$ y altura $5$: $A = 8 \cdot 5 = 40$

Área del rectángulo

$A = largo \cdot ancho$

Diagrama:

Rectángulo con dimensiones marcadas

Ejemplo:

Rectángulo de $6$ por $4$: $A = 6 \cdot 4 = 24$

Área del rombo

$A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ donde $d_1$ y $d_2$ son las diagonales

Diagrama:

Rombo con sus dos diagonales perpendiculares marcadas

Ejemplo:

Rombo con diagonales $8$ y $6$: $A = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Área del cuadrado

$A = lado^2$

Diagrama:

Cuadrado con lado marcado

Ejemplo:

Cuadrado de lado $5$: $A = 5^2 = 25$

Área del trapecio

$A = \frac{(base_1 + base_2)}{2} \cdot altura$

Diagrama:

Trapecio con las dos bases paralelas y la altura perpendicular marcadas

Ejemplo:

Trapecio con bases $8$ y $4$, altura $5$: $A = \frac{8+4}{2} \cdot 5 = 30$

Ejemplos

Problema:

Calcular el área de un rectángulo de $12$ cm de largo y $7$ cm de ancho.

Diagrama:

Rectángulo de 12 cm × 7 cm con área marcada

Solución:

$A = 12 \cdot 7 = 84$ cm²

Problema:

Un rombo tiene diagonales de $10$ cm y $6$ cm. Hallar su área.

Diagrama:

Rombo con diagonales de 10 y 6 cm, área calculada

Solución:

$A = \frac{10 \cdot 6}{2} = 30$ cm²

Problema:

Un trapecio isósceles tiene bases de $15$ y $9$ cm, y altura de $6$ cm. Calcular su área.

Diagrama:

Trapecio isósceles con bases de 15 y 9 cm, altura de 6 cm

Solución:

$A = \frac{15+9}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72$ cm²

Polígonos

Teoría

Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos de recta (lados) que se unen en vértices. Se clasifican según el número de lados: triángulo (3), cuadrilátero (4), pentágono (5), hexágono (6), etc. Un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.

Diagrama:

Polígonos regulares: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono, mostrando sus lados y ángulos iguales

Fórmulas a usar

Suma de ángulos internos de un polígono

$S_i = 180°(n-2)$ donde $n$ es el número de lados

Diagrama:

Pentágono con sus 5 ángulos internos sumando 540°

Ejemplo:

Pentágono ($n=5$): $S_i = 180°(5-2) = 540°$

Ángulo interno de un polígono regular

$\alpha = \frac{180°(n-2)}{n}$

Diagrama:

Hexágono regular con ángulos internos de 120° cada uno

Ejemplo:

Hexágono regular ($n=6$): $\alpha = \frac{180°(6-2)}{6} = \frac{720°}{6} = 120°$

Suma de ángulos externos

La suma de los ángulos externos de cualquier polígono es $360°$

Ejemplo:

En cualquier polígono, sin importar el número de lados, la suma de ángulos externos es $360°$

Ángulo externo de un polígono regular

$\beta = \frac{360°}{n}$

Diagrama:

Octágono regular con ángulos externos de 45°

Ejemplo:

Octágono regular ($n=8$): $\beta = \frac{360°}{8} = 45°$

Número de diagonales

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Diagrama:

Pentágono con sus 5 diagonales dibujadas

Ejemplo:

Pentágono ($n=5$): $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$ diagonales

Área de un polígono regular

$A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ donde $P$ es el perímetro y $a$ es la apotema

Diagrama:

Hexágono regular con apotema (distancia del centro al lado) marcada

Ejemplo:

Hexágono regular de lado $4$: perímetro $P = 24$, apotema $a = 2\sqrt{3}$, área $A = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$

Ejemplos

Problema:

Calcular la suma de ángulos internos de un heptágono.

Diagrama:

Heptágono con sus 7 ángulos internos

Solución:

$S_i = 180°(7-2) = 180° \cdot 5 = 900°$

Problema:

Un polígono regular tiene ángulos internos de $135°$. ¿Cuántos lados tiene?

Diagrama:

Octágono regular con ángulos de 135°

Solución:

$135° = \frac{180°(n-2)}{n}$, entonces $135n = 180n - 360$, $45n = 360$, $n = 8$. Es un octágono

Problema:

Calcular el número de diagonales de un decágono.

Diagrama:

Decágono con algunas diagonales dibujadas

Solución:

$D = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{70}{2} = 35$ diagonales

Circunferencia y círculo

Teoría

Una circunferencia es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro. El círculo es la región plana encerrada por la circunferencia. El radio ($r$) es la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. El diámetro ($d$) es el doble del radio.

Diagrama:

Círculo con centro O, radio r, diámetro d = 2r. Circunferencia marcada. Punto P en la circunferencia

Fórmulas a usar

Longitud de la circunferencia

$L = 2\pi r = \pi d$

Diagrama:

Circunferencia con radio marcado y longitud calculada

Ejemplo:

Circunferencia con radio $5$: $L = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31.42$

Área del círculo

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Diagrama:

Círculo con radio marcado y área sombreada

Ejemplo:

Círculo con radio $7$: $A = \pi \cdot 7^2 = 49\pi \approx 153.94$

Longitud de arco

$L_{arco} = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi r$ donde $\theta$ es el ángulo central en grados

Diagrama:

Circunferencia con arco de 60° marcado, mostrando el ángulo central

Ejemplo:

Arco de $60°$ en circunferencia de radio $6$: $L = \frac{60}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{\pi}{3} \cdot 6 = 2\pi$

Área del sector circular

$A_{sector} = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2$

Diagrama:

Círculo con sector circular de 90° sombreado

Ejemplo:

Sector de $90°$ en círculo de radio $4$: $A = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 16 = \frac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi$

Área de la corona circular

$A = \pi(R^2 - r^2)$ donde $R$ es el radio exterior y $r$ el interior

Diagrama:

Corona circular (anillo) con radios exterior R e interior r marcados

Ejemplo:

Corona con $R = 8$ y $r = 5$: $A = \pi(64 - 25) = 39\pi$

Área del segmento circular

$A_{segmento} = A_{sector} - A_{triángulo} = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2 - \frac{r^2}{2}\sen\theta$

Diagrama:

Segmento circular (área entre arco y cuerda) mostrando el sector y el triángulo

Ejemplo:

Segmento de $60°$ con radio $6$: $A = \frac{60}{360} \cdot 36\pi - \frac{36}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\pi - 9\sqrt{3}$

Ejemplos

Problema:

Calcular el área y perímetro de un círculo con radio $10$ cm.

Diagrama:

Círculo de radio 10 cm con área y circunferencia marcadas

Solución:

Área: $A = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \approx 314.16$ cm². Perímetro: $L = 2\pi \cdot 10 = 20\pi \approx 62.83$ cm

Problema:

Hallar el área de un sector circular de $120°$ en un círculo de radio $9$ cm.

Diagrama:

Círculo con sector de 120° sombreado, radio de 9 cm

Solución:

$A = \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 81 = \frac{1}{3} \cdot 81\pi = 27\pi \approx 84.82$ cm²

Problema:

Calcular la longitud de un arco de $45°$ en una circunferencia de radio $12$ cm.

Diagrama:

Circunferencia con arco de 45° marcado, radio de 12 cm

Solución:

$L = \frac{45}{360} \cdot 2\pi \cdot 12 = \frac{1}{8} \cdot 24\pi = 3\pi \approx 9.42$ cm

Proporcionalidad de segmentos y semejanza de triángulos

Teoría

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados proporcionales. La razón de semejanza es la constante de proporcionalidad entre los lados correspondientes. El teorema de Tales establece relaciones de proporcionalidad entre segmentos.

Diagrama:

Dos triángulos semejantes ABC y A'B'C' con ángulos iguales marcados y lados proporcionales. Razón de semejanza k

Fórmulas a usar

Criterios de semejanza

AAA: tres ángulos iguales. LAL: dos lados proporcionales y ángulo comprendido igual. LLL: tres lados proporcionales

Diagrama:

Dos triángulos mostrando criterio AAA: ángulos correspondientes iguales

Ejemplo:

Si $\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$, entonces $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Razón de semejanza

$k = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$ donde $k$ es la constante de proporcionalidad

Diagrama:

Dos triángulos con lados marcados mostrando la proporción 1:2

Ejemplo:

Si los lados de un triángulo son $3, 4, 5$ y del otro son $6, 8, 10$, la razón es $k = 2$

Teorema de Tales

Si dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos son proporcionales: $\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$

Diagrama:

Dos rectas paralelas cortadas por dos secantes, mostrando segmentos proporcionales

Ejemplo:

Si $AB = 4$, $BC = 6$, $DE = 6$, entonces $EF = 9$

Razón de áreas en triángulos semejantes

$\frac{A_1}{A_2} = k^2$ donde $k$ es la razón de semejanza

Diagrama:

Dos triángulos semejantes con áreas marcadas, mostrando que la razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza

Ejemplo:

Si la razón de semejanza es $3$, la razón de áreas es $9$

División de un segmento en partes iguales

Usar el teorema de Tales para dividir un segmento en $n$ partes iguales

Diagrama:

Segmento AB dividido en 5 partes iguales usando el teorema de Tales

Ejemplo:

Para dividir $AB$ en 5 partes iguales, trazar una recta auxiliar y marcar 5 segmentos iguales

Ejemplos

Problema:

Dos triángulos son semejantes. Si los lados del primero son $6, 8, 10$ y un lado del segundo es $12$, hallar los otros lados.

Diagrama:

Dos triángulos semejantes con lados proporcionales en razón 1:2

Solución:

Razón de semejanza: $k = \frac{12}{6} = 2$. Los otros lados son: $8 \cdot 2 = 16$ y $10 \cdot 2 = 20$

Problema:

En la figura, $DE \parallel BC$. Si $AD = 4$, $DB = 6$, $AE = 5$, hallar $EC$.

Diagrama:

Triángulo ABC con recta DE paralela a BC, mostrando segmentos proporcionales

Solución:

Por Tales: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, entonces $\frac{4}{6} = \frac{5}{EC}$, $EC = \frac{30}{4} = 7.5$

Problema:

Dos triángulos semejantes tienen áreas de $16$ y $64$ cm². Hallar la razón de semejanza.

Diagrama:

Dos triángulos semejantes con áreas en razón 1:4, mostrando razón de semejanza 2

Solución:

$\frac{64}{16} = k^2$, entonces $k^2 = 4$, $k = 2$. La razón de semejanza es $2$

Áreas de regiones planas

Teoría

El área es la medida de la superficie de una figura plana. Se calcula usando fórmulas específicas según la figura. Para figuras compuestas, se descompone en figuras simples y se suman o restan las áreas.

Diagrama:

Varias figuras planas: triángulo, cuadrado, círculo, trapecio, mostrando sus áreas calculadas

Fórmulas a usar

Área del triángulo (fórmula general)

$A = \frac{1}{2} \cdot base \cdot altura$

Diagrama:

Triángulo con base y altura marcadas perpendicularmente

Ejemplo:

Triángulo con base $10$ y altura $6$: $A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$

Área del triángulo (fórmula de Herón)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ donde $s = \frac{a+b+c}{2}$ es el semiperímetro

Diagrama:

Triángulo con sus tres lados marcados para aplicar fórmula de Herón

Ejemplo:

Triángulo con lados $5, 6, 7$: $s = 9$, $A = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 6\sqrt{6}$

Área del triángulo (con dos lados y ángulo)

$A = \frac{1}{2}ab\sen C$

Diagrama:

Triángulo con dos lados y el ángulo comprendido marcado

Ejemplo:

Triángulo con lados $5$ y $6$ y ángulo $30°$: $A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sen 30° = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5$

Área del paralelogramo

$A = base \cdot altura$

Diagrama:

Paralelogramo con base y altura marcadas

Ejemplo:

Paralelogramo con base $12$ y altura $8$: $A = 12 \cdot 8 = 96$

Área del trapecio

$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h$ donde $B$ y $b$ son las bases

Diagrama:

Trapecio con bases mayor y menor, y altura marcadas

Ejemplo:

Trapecio con bases $10$ y $6$, altura $5$: $A = \frac{10+6}{2} \cdot 5 = 40$

Área del círculo

$A = \pi r^2$

Diagrama:

Círculo con radio marcado y área sombreada

Ejemplo:

Círculo con radio $5$: $A = \pi \cdot 25 = 25\pi$

Área de figura compuesta

Descomponer en figuras simples y sumar/restar áreas

Diagrama:

Figura compuesta: rectángulo con semicírculo removido, mostrando las partes

Ejemplo:

Figura formada por rectángulo de $8 \times 6$ menos semicírculo de radio $3$: $A = 48 - \frac{9\pi}{2}$

Ejemplos

Problema:

Calcular el área de un triángulo con lados $7$, $8$ y $9$ cm usando la fórmula de Herón.

Diagrama:

Triángulo con lados 7, 8, 9 cm y área calculada

Solución:

$s = \frac{7+8+9}{2} = 12$. $A = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 6\sqrt{20} = 12\sqrt{5}$ cm²

Problema:

Hallar el área de un trapecio isósceles con bases de $12$ y $8$ cm, y altura de $5$ cm.

Diagrama:

Trapecio isósceles con bases y altura marcadas

Solución:

$A = \frac{12+8}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50$ cm²

Problema:

Calcular el área de una figura formada por un cuadrado de lado $6$ cm con un círculo inscrito.

Diagrama:

Cuadrado con círculo inscrito, mostrando el área sombreada (cuadrado menos círculo)

Solución:

Área del cuadrado: $36$ cm². Radio del círculo: $3$ cm. Área del círculo: $9\pi$ cm². Área sombreada: $36 - 9\pi$ cm²

Consejos de Estudio

Memoriza las fórmulas de área de las figuras básicas (triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo)
Practica identificando triángulos semejantes usando los criterios AAA, LAL, LLL
Usa el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos
Dibuja las figuras para visualizar mejor los problemas
Para figuras compuestas, descompón en figuras simples
Recuerda que en triángulos semejantes, la razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza
En polígonos regulares, la apotema es clave para calcular el área
Usa la fórmula de Herón cuando conozcas los tres lados de un triángulo