Aplicando las propiedades: $\frac{x^4 y^{-2}}{x^{-1} y^3} = x^{4-(-1)} \cdot y^{-2-3} = x^5 \cdot y^{-5} = \frac{x^5}{y^5}$

$(2^3 \cdot 2^{-1})^2 = (2^{3+(-1)})^2 = (2^2)^2 = 2^4 = 16$

El término de mayor grado es $4x^5$, por lo tanto el grado del polinomio es $5$

Grados de cada término: $3+2=5$, $1+4=5$, $2+1=3$. El grado es $5$

$(2x+5)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4)$

Usando división sintética: $x^2 - x - 2$ con residuo $0$. Verificación: $(x+3)(x^2-x-2) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$

Cociente: $2x^2 - x + 1$, Residuo: $1$. Por lo tanto: $2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 = (x-2)(2x^2-x+1) + 1$

$\frac{x^2 - 25}{x - 5} = \frac{x^2 - 5^2}{x - 5} = x + 5$

$\frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{x^3 - 2^3}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$

Agrupando los términos extremos y los términos medios: $f(a, b) = (a^2 + b^2) - 2ab(a^2 + b^2) = (a^2 + b^2)(1 - 2ab)$. El método consiste en combinar los términos extremos en un grupo y los términos medios en otro, y luego extraer el factor común $(a^2 + b^2)$.

Descomponiendo términos: $-7a^2 = -3a^2 - 4a^2$ y $7a = 12a - 5a$. Entonces: $f(a) = a^3 - 3a^2 - 4a^2 + 12a - 5a + 15$. Agrupando: $f(a) = (a^3 - 3a^2) - (4a^2 - 12a) - (5a - 15) = a^2(a-3) - 4a(a-3) - 5(a-3) = (a-3)(a^2 - 4a - 5)$. Factorizando el trinomio: $a^2 - 4a - 5 = a^2 + a - 5a - 5 = a(a+1) - 5(a+1) = (a+1)(a-5)$. También puede factorizarse encontrando las raíces: de $a^2 - 4a - 5 = 0$ obtenemos $a_1 = -1$ y $a_2 = 5$, entonces $a^2 - 4a - 5 = (a+1)(a-5)$. Por lo tanto: $f(a) = (a-3)(a+1)(a-5)$.

Buscando dos números que sumen $-5$ y multipliquen $6$: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Verificación: $(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Primero extraer factor común: $2x^2 + 8x + 6 = 2(x^2 + 4x + 3)$. Luego factorizar el trinomio: $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$. Por lo tanto: $2x^2 + 8x + 6 = 2(x+1)(x+3)$.

Diferencia de cuadrados: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$.

\textbf{Método 1 (Agrupación):} $a^2 - 4a - 5 = a^2 + a - 5a - 5 = a(a+1) - 5(a+1) = (a+1)(a-5)$. \textbf{Método 2 (Raíces):} De la ecuación $a^2 - 4a - 5 = 0$ encontramos las raíces: $a_1 = -1$ y $a_2 = 5$. Aplicando la fórmula $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$ con $a=1$: $a^2 - 4a - 5 = (a - (-1))(a - 5) = (a+1)(a-5)$.

$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2-1}$

\textbf{Paso 1: Factorizar el numerador.} Descomponiendo el término medio $ab = 2ab - ab$: $2a^2 + ab - b^2 = 2a^2 + 2ab - ab - b^2$. Agrupando: $2a^2 + 2ab - ab - b^2 = 2a(a + b) - b(a + b) = (a + b)(2a - b)$. \textbf{Paso 2: Simplificar.} $f(a, b) = \frac{(a + b)(2a - b)}{a + b} = 2a - b$. \textbf{Condición:} La simplificación es válida solo si $a + b \neq 0$, es decir, $a \neq -b$.

\textbf{Paso 1: Factorizar el numerador.} Completando cuadrados para formar diferencia de cuadrados: $a^4 - 10a^2 + 169 = (a^4 + 26a^2 + 169) - 36a^2 = (a^2 + 13)^2 - (6a)^2 = (a^2 + 13 - 6a)(a^2 + 13 + 6a) = (a^2 - 6a + 13)(a^2 + 6a + 13)$. \textbf{Paso 2: Simplificar.} $f(a) = \frac{(a^2 + 6a + 13)(a^2 - 6a + 13)}{a^2 + 6a + 13} = a^2 - 6a + 13$. \textbf{Condición:} El denominador $a^2 + 6a + 13 = (a + 3)^2 + 4$ nunca se anula para valores reales de $a$ (siempre es positivo), por lo tanto la simplificación es válida para todos los valores reales de $a$.

\textbf{Paso 1: Factorizar denominadores.} $a^2 + 3a + 2 = (a+1)(a+2)$, $a^2 + 4a + 3 = (a+1)(a+3)$, $a^2 + 5a + 6 = (a+2)(a+3)$. \textbf{Paso 2: Sumar fracciones.} Denominador común: $(a+1)(a+2)(a+3)$. $\frac{a+3}{(a+1)(a+2)(a+3)} + \frac{2a(a+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)} + \frac{a+1}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{a+3 + 2a^2 + 4a + a + 1}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2a^2 + 6a + 4}{(a+1)(a+2)(a+3)}$. \textbf{Paso 3: Factorizar numerador.} $2a^2 + 6a + 4 = 2(a^2 + 3a + 2) = 2(a+1)(a+2)$. \textbf{Paso 4: Simplificar segundo factor.} $(a-3)^2 + 12a = a^2 - 6a + 9 + 12a = a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$. \textbf{Paso 5: Sustituir y simplificar.} $f(a) = \left(\frac{2(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)}\right)^2 \cdot \frac{(a+3)^2}{2} = \left(\frac{2}{a+3}\right)^2 \cdot \frac{(a+3)^2}{2} = \frac{4}{(a+3)^2} \cdot \frac{(a+3)^2}{2} = 2$. \textbf{Condición:} La simplificación es válida si $a \neq -1, a \neq -2, a \neq -3$.

La función original $f(x) = x^2 + 3x - 5 + \sqrt{x} - \sqrt{x}$ está definida solo para $x \geq 0$ (debido a las raíces cuadradas). Al simplificar reuniendo términos semejantes, obtenemos $g(x) = x^2 + 3x - 5$, que está definida para cualquier valor real de $x$. Las funciones $f(x)$ y $g(x)$ son idénticas solo en el conjunto $[0, \infty)$, que es el dominio de $f(x)$. Por lo tanto, al realizar esta transformación idéntica, se ha extendido el dominio de definición.

La fracción $\frac{x^3-1}{(x-1)(x+2)}$ está definida para $x \neq 1, x \neq -2$. Al factorizar el numerador: $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$ (diferencia de cubos). Al reducir por $x-1$ obtenemos $\frac{x^2+x+1}{x+2}$, que está definida para $x \neq -2$. Las funciones son idénticas en la intersección de sus dominios: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$. Nótese que en $x = 1$ la función original no está definida, pero la transformada sí lo estaría (aunque no es parte del dominio de la función simplificada en este contexto).

$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

$\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5-2} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

$\frac{1}{\sqrt{x+1} - 1} = \frac{1}{\sqrt{x+1} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{\sqrt{x+1} + 1}{(x+1) - 1} = \frac{\sqrt{x+1} + 1}{x}$