CAP. 4: Logaritmos y Exponentes
Estudio de las propiedades de los logaritmos, simplificación de expresiones logarítmicas, y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas.
Propiedades de logaritmos y simplificación
Teoría
El logaritmo en base $a$ de un número $x$ es el exponente al que hay que elevar $a$ para obtener $x$. Se denota $\log_a x = y$ si y solo si $a^y = x$. Los logaritmos tienen propiedades que permiten simplificar expresiones complejas y resolver ecuaciones.
Fórmulas a usar
Definición de logaritmo
$\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$ (con $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$)
Ejemplo:
$\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$
Logaritmo de un producto
$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
Ejemplo:
$\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$
Logaritmo de un cociente
$\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
Ejemplo:
$\log_2 \left(\frac{8}{4}\right) = \log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1$
Logaritmo de una potencia
$\log_a (x^n) = n \log_a x$
Ejemplo:
$\log_2 (4^3) = 3 \log_2 4 = 3 \cdot 2 = 6$
Logaritmo de una raíz
$\log_a (\sqrt[n]{x}) = \log_a (x^{1/n}) = \frac{1}{n} \log_a x$
Ejemplo:
$\log_2 (\sqrt{16}) = \log_2 (16^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_2 16 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$
Cambio de base
$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}$
Ejemplo:
$\log_2 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2} = \frac{0.903}{0.301} = 3$
Logaritmo de la base
$\log_a a = 1$ y $\log_a 1 = 0$
Ejemplo:
$\log_5 5 = 1$, $\log_7 1 = 0$
Propiedad del exponente
$a^{\log_a x} = x$
Ejemplo:
$2^{\log_2 8} = 8$
Logaritmo de un número negativo o cero
No existe $\log_a x$ si $x \leq 0$ o si $a \leq 0$ o $a = 1$
Ejemplo:
$\log_2 (-4)$ no existe, $\log_2 0$ no existe
Logaritmo natural y decimal
$\ln x = \log_e x$ (base $e$) y $\log x = \log_{10} x$ (base 10)
Ejemplo:
$\ln e = 1$, $\log 100 = 2$
Ejemplos
Problema:
Simplificar $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2$
Solución:
$\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2 = \log_2 \left(\frac{8 \cdot 4}{2}\right) = \log_2 16 = 4$
Problema:
Simplificar $\log_3 27 - 2\log_3 3 + \log_3 9$
Solución:
$\log_3 27 - 2\log_3 3 + \log_3 9 = \log_3 3^3 - 2(1) + \log_3 3^2 = 3 - 2 + 2 = 3$
Problema:
Expresar $\log_2 (x^3 \sqrt{y})$ en términos de $\log_2 x$ y $\log_2 y$
Solución:
$\log_2 (x^3 \sqrt{y}) = \log_2 x^3 + \log_2 y^{1/2} = 3\log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 y$
Problema:
Calcular $\log_5 125$ usando cambio de base
Solución:
$\log_5 125 = \frac{\log 125}{\log 5} = \frac{\log 5^3}{\log 5} = \frac{3\log 5}{\log 5} = 3$
Problema:
Simplificar $\log_2 \left(\frac{8x^2}{y^3}\right)$
Solución:
$\log_2 \left(\frac{8x^2}{y^3}\right) = \log_2 8 + \log_2 x^2 - \log_2 y^3 = 3 + 2\log_2 x - 3\log_2 y$
Ecuaciones logarítmicas
Teoría
Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en el argumento de un logaritmo. Para resolverlas, se utilizan las propiedades de los logaritmos y la definición, transformándolas en ecuaciones algebraicas. Es importante verificar las soluciones ya que los argumentos deben ser positivos.
Fórmulas a usar
Ecuación básica
Si $\log_a x = b$, entonces $x = a^b$
Ejemplo:
$\log_2 x = 5$ implica $x = 2^5 = 32$
Ecuación con igualdad de logaritmos
Si $\log_a x = \log_a y$, entonces $x = y$ (con $x, y > 0$)
Ejemplo:
$\log_3 (x+1) = \log_3 4$ implica $x+1 = 4$, entonces $x = 3$
Ecuación con suma de logaritmos
$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$
Ejemplo:
$\log_2 (x-1) + \log_2 (x+1) = 3$ se convierte en $\log_2 [(x-1)(x+1)] = 3$, entonces $(x-1)(x+1) = 8$, $x^2 = 9$, $x = \pm 3$. Verificando: $x = 3$ es válido
Ecuación con diferencia de logaritmos
$\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$
Ejemplo:
$\log_5 x - \log_5 2 = 1$ se convierte en $\log_5 \left(\frac{x}{2}\right) = 1$, entonces $\frac{x}{2} = 5$, $x = 10$
Ecuación con logaritmo de potencia
$n\log_a x = \log_a (x^n)$
Ejemplo:
$2\log_3 x = 4$ se convierte en $\log_3 x^2 = 4$, entonces $x^2 = 3^4 = 81$, $x = \pm 9$. Verificando: $x = 9$ es válido
Ecuación con cambio de base
Usar $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ para unificar bases
Ejemplo:
$\log_2 x = \log_4 16$ se convierte en $\log_2 x = \frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2} = 2$, entonces $x = 2^2 = 4$
Ecuación con logaritmos en ambos lados
Si $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, entonces $f(x) = g(x)$ (verificando $f(x), g(x) > 0$)
Ejemplo:
$\log_2 (x^2-1) = \log_2 (x+1)$ implica $x^2-1 = x+1$, $x^2-x-2=0$, $(x-2)(x+1)=0$, entonces $x=2$ o $x=-1$. Verificando: solo $x=2$ es válido
Ejemplos
Problema:
Resolver $\log_2 (x+1) = 3$
Solución:
Aplicando definición: $x + 1 = 2^3 = 8$, entonces $x = 7$. Verificación: $\log_2 (7+1) = \log_2 8 = 3$ ✓
Problema:
Resolver $\log_3 (x-2) + \log_3 (x+2) = 2$
Solución:
Combinando: $\log_3 [(x-2)(x+2)] = 2$, entonces $(x-2)(x+2) = 3^2 = 9$, $x^2 - 4 = 9$, $x^2 = 13$, $x = \pm\sqrt{13}$. Verificando: $x = \sqrt{13}$ es válido (el otro no porque $x-2$ sería negativo)
Problema:
Resolver $\log_5 x - \log_5 (x-4) = 1$
Solución:
Combinando: $\log_5 \left(\frac{x}{x-4}\right) = 1$, entonces $\frac{x}{x-4} = 5$, $x = 5(x-4) = 5x - 20$, $4x = 20$, $x = 5$. Verificación: $\log_5 5 - \log_5 1 = 1 - 0 = 1$ ✓
Problema:
Resolver $2\log_2 x = \log_2 16$
Solución:
$2\log_2 x = \log_2 16$ se convierte en $\log_2 x^2 = \log_2 16$, entonces $x^2 = 16$, $x = \pm 4$. Verificando: $x = 4$ es válido
Problema:
Resolver $\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = 3$
Solución:
$\log_2 [(x+3)(x-1)] = 3$, entonces $(x+3)(x-1) = 8$, $x^2 + 2x - 3 = 8$, $x^2 + 2x - 11 = 0$. Usando fórmula cuadrática: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+44}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{12}$. Verificando: $x = -1 + \sqrt{12}$ es válido
Problema:
Resolver $\log_4 (2x-1) = \frac{1}{2}$
Solución:
$2x - 1 = 4^{1/2} = 2$, entonces $2x = 3$, $x = \frac{3}{2}$. Verificación: $\log_4 (2 \cdot \frac{3}{2} - 1) = \log_4 2 = \frac{1}{2}$ ✓
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Teoría
Un sistema de ecuaciones logarítmicas contiene dos o más ecuaciones con logaritmos. Se resuelve aplicando las propiedades de los logaritmos para simplificar y luego usando métodos algebraicos como sustitución, igualación o reducción. Es crucial verificar que todas las soluciones satisfagan las condiciones de existencia de los logaritmos.
Fórmulas a usar
Método de sustitución
Despejar una variable de una ecuación logarítmica y sustituir en la otra
Ejemplo:
De $\log_2 x + \log_2 y = 3$: $\log_2 (xy) = 3$, entonces $xy = 8$. De $\log_2 x - \log_2 y = 1$: $\log_2 (x/y) = 1$, entonces $x/y = 2$, $x = 2y$. Sustituyendo: $(2y)y = 8$, $y^2 = 4$, $y = 2$, $x = 4$
Método de igualación
Despejar la misma expresión logarítmica en ambas ecuaciones e igualar
Ejemplo:
De $\log_3 x = 2 - \log_3 y$ y $\log_3 x = 1 + \log_3 y$: igualando $2 - \log_3 y = 1 + \log_3 y$, entonces $\log_3 y = \frac{1}{2}$, $y = 3^{1/2} = \sqrt{3}$, $x = 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$
Método de reducción
Sumar o restar ecuaciones para eliminar logaritmos
Ejemplo:
$\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 4 \\ \log_2 x - \log_2 y = 2 \end{cases}$: sumando $2\log_2 x = 6$, $\log_2 x = 3$, $x = 8$. Restando: $2\log_2 y = 2$, $\log_2 y = 1$, $y = 2$
Sistema con cambio de variable
Hacer $u = \log_a x$ y $v = \log_a y$ para convertir en sistema lineal
Ejemplo:
$\begin{cases} \log_2 x + 2\log_2 y = 5 \\ 2\log_2 x - \log_2 y = 4 \end{cases}$: con $u = \log_2 x$, $v = \log_2 y$: $\begin{cases} u + 2v = 5 \\ 2u - v = 4 \end{cases}$. Resolviendo: $u = 3$, $v = 1$, entonces $x = 8$, $y = 2$
Sistema con diferentes bases
Usar cambio de base para unificar todas las bases
Ejemplo:
$\begin{cases} \log_2 x = 2 \\ \log_4 y = 1 \end{cases}$: $x = 4$, $y = 4$. O convertir: $\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2} = 1$, entonces $\log_2 y = 2$, $y = 4$
Ejemplos
Problema:
Resolver $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 3 \\ \log_2 x - \log_2 y = 1 \end{cases}$
Solución:
Sumando: $2\log_2 x = 4$, entonces $\log_2 x = 2$, $x = 4$. Restando: $2\log_2 y = 2$, entonces $\log_2 y = 1$, $y = 2$. Solución: $(4, 2)$
Problema:
Resolver $\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2 \\ x + y = 6 \end{cases}$
Solución:
De la primera: $\log_3 (xy) = 2$, entonces $xy = 9$. Del sistema $\begin{cases} xy = 9 \\ x + y = 6 \end{cases}$: $y = 6-x$, sustituyendo $x(6-x) = 9$, $x^2 - 6x + 9 = 0$, $(x-3)^2 = 0$, entonces $x = 3$, $y = 3$. Solución: $(3, 3)$
Problema:
Resolver $\begin{cases} \log_2 x + 2\log_2 y = 5 \\ 2\log_2 x - \log_2 y = 4 \end{cases}$
Solución:
Haciendo $u = \log_2 x$ y $v = \log_2 y$: $\begin{cases} u + 2v = 5 \\ 2u - v = 4 \end{cases}$. De la segunda: $v = 2u - 4$. Sustituyendo: $u + 2(2u-4) = 5$, $5u = 13$, $u = \frac{13}{5}$, entonces $x = 2^{13/5}$. $v = 2(\frac{13}{5}) - 4 = \frac{6}{5}$, entonces $y = 2^{6/5}$
Problema:
Resolver $\begin{cases} \log_5 (x-1) + \log_5 (y+1) = 1 \\ x - y = 2 \end{cases}$
Solución:
De la primera: $\log_5 [(x-1)(y+1)] = 1$, entonces $(x-1)(y+1) = 5$. De la segunda: $x = y + 2$. Sustituyendo: $(y+2-1)(y+1) = 5$, $(y+1)^2 = 5$, $y+1 = \pm\sqrt{5}$, entonces $y = -1 \pm \sqrt{5}$. Si $y = -1 + \sqrt{5}$: $x = 1 + \sqrt{5}$. Verificando: ambos valores positivos, solución válida
Problema:
Resolver $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 4 \\ \log_2 x \cdot \log_2 y = 3 \end{cases}$
Solución:
Haciendo $u = \log_2 x$ y $v = \log_2 y$: $\begin{cases} u + v = 4 \\ uv = 3 \end{cases}$. Por Vieta: $u$ y $v$ son raíces de $t^2 - 4t + 3 = 0$, entonces $(t-1)(t-3) = 0$, $t = 1$ o $t = 3$. Si $u = 1$: $x = 2$, $y = 8$. Si $u = 3$: $x = 8$, $y = 2$. Soluciones: $(2, 8)$ y $(8, 2)$
Consejos de Estudio
- Memoriza las propiedades fundamentales de los logaritmos (producto, cociente, potencia)
- Practica la conversión entre forma exponencial y logarítmica: $\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$
- Siempre verifica que los argumentos de los logaritmos sean positivos en las soluciones
- Usa cambio de base cuando tengas logaritmos con diferentes bases
- En sistemas, considera hacer cambio de variable para simplificar
- Recuerda que $\log_a a = 1$ y $\log_a 1 = 0$ para cualquier base válida
- Para ecuaciones complejas, combina logaritmos antes de resolver
- Verifica todas las soluciones sustituyendo en las ecuaciones originales