CAP. 5: Progresiones
Estudio de progresiones aritméticas, geométricas y progresiones combinadas, incluyendo sus propiedades y aplicaciones.
Progresiones aritméticas
Teoría
Una progresión aritmética (PA) es una sucesión de números en la que cada término después del primero se obtiene sumando una constante llamada diferencia ($d$) al término anterior. La diferencia es constante: $a_{n+1} - a_n = d$ para todo $n$.
Fórmulas a usar
Término n-ésimo (término general)
$a_n = a_1 + (n-1)d$ donde $a_1$ es el primer término y $d$ es la diferencia
Ejemplo:
Si $a_1 = 2$ y $d = 3$: $a_5 = 2 + (5-1) \cdot 3 = 2 + 12 = 14$
Suma de n términos
$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$
Ejemplo:
Suma de los primeros 5 términos con $a_1 = 2$ y $d = 3$: $S_5 = \frac{5}{2}(2 + 14) = \frac{5}{2} \cdot 16 = 40$
Diferencia común
$d = a_{n+1} - a_n = \frac{a_n - a_1}{n-1}$
Ejemplo:
Si $a_1 = 3$ y $a_5 = 15$: $d = \frac{15-3}{5-1} = \frac{12}{4} = 3$
Término medio (media aritmética)
Si $a$, $b$, $c$ están en PA: $b = \frac{a+c}{2}$
Ejemplo:
Si $2$, $x$, $8$ están en PA: $x = \frac{2+8}{2} = 5$
Número de términos
$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$
Ejemplo:
Si $a_1 = 5$, $a_n = 41$ y $d = 4$: $n = \frac{41-5}{4} + 1 = 9 + 1 = 10$
Suma de términos equidistantes
$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \ldots$
Ejemplo:
En PA: $2, 5, 8, 11, 14$: $2+14 = 5+11 = 8+8 = 16$
Término en función de otros dos
Si $a_m$ y $a_n$ son conocidos: $a_k = a_m + (k-m)d$ donde $d = \frac{a_n - a_m}{n-m}$
Ejemplo:
Si $a_3 = 8$ y $a_7 = 20$: $d = \frac{20-8}{7-3} = 3$, entonces $a_5 = 8 + (5-3) \cdot 3 = 14$
Ejemplos
Problema:
En una PA, $a_1 = 5$ y $d = 4$. Hallar $a_{10}$
Solución:
$a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 4 = 5 + 36 = 41$
Problema:
Calcular la suma de los primeros 20 términos de la PA: $3, 7, 11, 15, \ldots$
Solución:
$a_1 = 3$, $d = 4$, $a_{20} = 3 + (20-1) \cdot 4 = 3 + 76 = 79$. $S_{20} = \frac{20}{2}(3 + 79) = 10 \cdot 82 = 820$
Problema:
En una PA, $a_3 = 12$ y $a_8 = 27$. Hallar $a_1$ y $d$
Solución:
$a_3 = a_1 + 2d = 12$ y $a_8 = a_1 + 7d = 27$. Restando: $5d = 15$, entonces $d = 3$. Sustituyendo: $a_1 + 2(3) = 12$, $a_1 = 6$
Problema:
Interpolar 4 medios aritméticos entre 5 y 25
Solución:
Necesitamos 6 términos: $a_1 = 5$, $a_6 = 25$. $25 = 5 + 5d$, entonces $d = 4$. La PA es: $5, 9, 13, 17, 21, 25$. Los medios son: $9, 13, 17, 21$
Problema:
La suma de los primeros $n$ términos de una PA es $S_n = 3n^2 + 2n$. Hallar el término general
Solución:
$a_1 = S_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 5$. $a_2 = S_2 - S_1 = [3(4) + 4] - 5 = 16 - 5 = 11$. $d = a_2 - a_1 = 6$. Entonces $a_n = 5 + (n-1)6 = 6n - 1$
Progresiones geométricas
Teoría
Una progresión geométrica (PG) es una sucesión de números en la que cada término después del primero se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón ($r$). La razón es constante: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$ para todo $n$.
Fórmulas a usar
Término n-ésimo (término general)
$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ donde $a_1$ es el primer término y $r$ es la razón
Ejemplo:
Si $a_1 = 2$ y $r = 3$: $a_4 = 2 \cdot 3^{4-1} = 2 \cdot 27 = 54$
Suma de n términos (si $r \neq 1$)
$S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}$
Ejemplo:
Suma de los primeros 4 términos con $a_1 = 2$ y $r = 3$: $S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{80}{2} = 80$
Suma de n términos (si $r = 1$)
$S_n = n \cdot a_1$
Ejemplo:
Si $a_1 = 5$ y $r = 1$: $S_5 = 5 \cdot 5 = 25$
Suma infinita (si $|r| < 1$)
$S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$
Ejemplo:
Si $a_1 = 1$ y $r = \frac{1}{2}$: $S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
Razón común
$r = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}$
Ejemplo:
Si $a_1 = 2$ y $a_4 = 54$: $r = \sqrt[3]{\frac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$
Término medio (media geométrica)
Si $a$, $b$, $c$ están en PG: $b = \sqrt{ac}$ o $b^2 = ac$
Ejemplo:
Si $2$, $x$, $8$ están en PG: $x^2 = 2 \cdot 8 = 16$, entonces $x = 4$ o $x = -4$
Producto de términos equidistantes
$a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_{n-1} = a_3 \cdot a_{n-2} = \ldots$
Ejemplo:
En PG: $2, 6, 18, 54$: $2 \cdot 54 = 6 \cdot 18 = 108$
Producto de n términos
$P_n = (a_1 \cdot a_n)^{n/2} = (a_1^2 r^{n-1})^{n/2}$
Ejemplo:
En PG con $a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 4$: $P_4 = (2 \cdot 54)^{4/2} = (108)^2 = 11664$
Ejemplos
Problema:
Calcular la suma de los primeros 5 términos de una PG con $a_1 = 3$ y $r = 2$
Solución:
$S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 3 \cdot 31 = 93$
Problema:
En una PG, $a_3 = 12$ y $a_6 = 96$. Hallar $a_1$ y $r$
Solución:
$a_3 = a_1 r^2 = 12$ y $a_6 = a_1 r^5 = 96$. Dividiendo: $\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 r^5}{a_1 r^2} = r^3 = \frac{96}{12} = 8$, entonces $r = 2$. Sustituyendo: $a_1 (2)^2 = 12$, $a_1 = 3$
Problema:
Calcular la suma infinita de la PG: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$
Solución:
$a_1 = 1$, $r = \frac{1}{2}$. Como $|r| < 1$: $S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
Problema:
Interpolar 3 medios geométricos entre 2 y 162
Solución:
Necesitamos 5 términos: $a_1 = 2$, $a_5 = 162$. $162 = 2 \cdot r^4$, entonces $r^4 = 81$, $r = 3$ o $r = -3$. Si $r = 3$: $2, 6, 18, 54, 162$. Los medios son: $6, 18, 54$
Problema:
El tercer término de una PG es 12 y el sexto término es 96. Hallar el noveno término
Solución:
$a_3 = 12$, $a_6 = 96$. $r^3 = \frac{96}{12} = 8$, entonces $r = 2$. $a_9 = a_6 \cdot r^3 = 96 \cdot 8 = 768$
Progresiones combinadas
Teoría
Las progresiones combinadas son sucesiones que combinan características de progresiones aritméticas y geométricas, o que alternan entre ambos tipos. También incluyen progresiones donde los términos se relacionan de manera más compleja, como progresiones aritmético-geométricas donde cada término es el producto de términos de una PA y una PG.
Fórmulas a usar
Progresión aritmético-geométrica
Término general: $a_n = (a + (n-1)d) \cdot r^{n-1}$ donde $(a + (n-1)d)$ es una PA y $r^{n-1}$ es una PG
Ejemplo:
Si $a_n = n \cdot 2^{n-1}$: $1, 4, 12, 32, \ldots$ (PA: $1, 2, 3, 4, \ldots$ y PG: $1, 2, 4, 8, \ldots$)
Suma de progresión aritmético-geométrica
$S_n = \frac{a - [a + (n-1)d]r^n}{1-r} + \frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}$ (si $r \neq 1$)
Ejemplo:
Para $a_n = n \cdot 2^{n-1}$: $S_4 = 1 + 4 + 12 + 32 = 49$
Progresión alternada
Sucesión que alterna entre PA y PG, o que cambia de patrón según la posición
Ejemplo:
$1, 3, 2, 6, 4, 12, \ldots$ (términos impares: PG con $r=2$, términos pares: PG con $r=2$)
Progresión donde la diferencia forma una PG
Si $a_{n+1} - a_n$ forma una PG, entonces $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d \cdot r^{k-1}$
Ejemplo:
Si $a_1 = 1$ y $a_{n+1} - a_n = 2^{n-1}$: $a_2 = 2$, $a_3 = 4$, $a_4 = 8$, $a_5 = 16$
Progresión donde el cociente forma una PA
Si $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ forma una PA, la sucesión es más compleja
Ejemplo:
Sucesión donde cada cociente aumenta en una constante
Método de identificación
1) Calcular diferencias sucesivas. 2) Si son constantes: PA. 3) Si forman PG: progresión combinada. 4) Calcular cocientes para verificar
Ejemplo:
Para $1, 3, 7, 15, 31, \ldots$: diferencias $2, 4, 8, 16$ forman PG con $r=2$, entonces es combinada
Ejemplos
Problema:
Identificar el tipo de progresión: $1, 3, 7, 15, 31, \ldots$
Solución:
Diferencias: $2, 4, 8, 16$ forman una PG con $r=2$. Es una progresión combinada donde las diferencias forman una PG. Término general: $a_n = 2^n - 1$
Problema:
Hallar el término general de: $2, 6, 18, 54, \ldots$ y verificar si es PA, PG o combinada
Solución:
Cocientes: $\frac{6}{2} = 3$, $\frac{18}{6} = 3$, $\frac{54}{18} = 3$. Es una PG pura con $a_1 = 2$ y $r = 3$. Término general: $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$
Problema:
Calcular la suma de los primeros 4 términos de $a_n = n \cdot 2^{n-1}$
Solución:
$a_1 = 1 \cdot 2^0 = 1$, $a_2 = 2 \cdot 2^1 = 4$, $a_3 = 3 \cdot 2^2 = 12$, $a_4 = 4 \cdot 2^3 = 32$. $S_4 = 1 + 4 + 12 + 32 = 49$
Problema:
En la sucesión $1, 4, 10, 22, 46, \ldots$, hallar $a_6$
Solución:
Diferencias: $3, 6, 12, 24$ forman PG con $r=2$. La siguiente diferencia sería $48$. Entonces $a_6 = 46 + 48 = 94$. O usando fórmula: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$, entonces $a_6 = 3 \cdot 32 - 2 = 94$
Problema:
Identificar y hallar el término general de: $5, 8, 13, 20, 29, \ldots$
Solución:
Diferencias: $3, 5, 7, 9$ forman una PA con $d=2$. Es una progresión donde las diferencias forman PA. $a_n = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} (3 + 2(k-1)) = 5 + (n-1)(n+1) = n^2 + 4$. Verificación: $a_1 = 1+4=5$ ✓, $a_2 = 4+4=8$ ✓
Consejos de Estudio
- Identifica si es progresión aritmética (diferencia constante) o geométrica (razón constante)
- Memoriza las fórmulas del término n-ésimo y de la suma para PA y PG
- Practica encontrando el primer término y la diferencia/razón a partir de términos dados
- Para progresiones combinadas, calcula diferencias y cocientes para identificar el patrón
- En PA, recuerda que $a_n = a_1 + (n-1)d$ y $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$
- En PG, recuerda que $a_n = a_1 r^{n-1}$ y $S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$ (si $r \neq 1$)
- Para suma infinita en PG, verifica que $|r| < 1$
- En progresiones combinadas, descompón el problema identificando las partes aritméticas y geométricas