1. Datos y propiedades de las raíces:
Dada la ecuación cuadrática $x^2 + px + q = 0$, por las relaciones de Cardano-Vieta, si $x_1$ y $x_2$ son sus raíces:

• Suma de raíces: $x_1 + x_2 = -p$
• Producto de raíces: $x_1 \cdot x_2 = q$

En este caso, $x_1 = \tan(15^\circ)$ y $x_2 = \tan(30^\circ)$. Por lo tanto:
$$ \begin{aligned} \tan(15^\circ) + \tan(30^\circ) &= -p \\ \tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) &= q \end{aligned} $$

2. Identidad de la tangente de la suma:
Usamos la fórmula $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$. Para $A = 15^\circ$ y $B = 30^\circ$:
$$ \tan(15^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(15^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(15^\circ) \tan(30^\circ)} $$
Sabemos que $15^\circ + 30^\circ = 45^\circ$ y $\tan(45^\circ) = 1$. Sustituyendo los valores de $p$ y $q$:
$$ 1 = \frac{-p}{1 - q} $$

3. Resolución algebraica:
Despejamos la relación entre $p$ y $q$:
$$ \begin{aligned} 1 - q &= -p \\ 1 &= q - p \end{aligned} $$

4. Cálculo de la expresión solicitada:
Se nos pide hallar el valor de $(2 + q - p)$. Sustituimos el valor hallado:
$$ 2 + (q - p) = 2 + 1 = 3 $$
$$ \boxed{3} $$