1. Teoría:
La expresión $A \cos x + B \sin x$ tiene como rango de valores el intervalo $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$.

2. Desarrollo:
Calculamos el valor máximo y mínimo de $7 \cos x + 5 \sin x$:
$R = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74} \approx 8.6$

Por lo tanto:
$-8.6 \leq 2k + 1 \leq 8.6$
$-9.6 \leq 2k \leq 7.6$
$-4.8 \leq k \leq 3.8$

Los valores integrales de $k$ en este rango son: $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
Contando los elementos obtenemos 8 valores.

3. Resultado final:
$$ \boxed{8} $$