1. Datos y análisis inicial:
Dadas las ecuaciones cuadráticas en términos de funciones trigonométricas:
1) $\sin^2 x + a \sin x + b = 0$ cuyas raíces son $\sin \alpha$ y $\sin \beta$.
2) $\cos^2 x + c \cos x + d = 0$ cuyas raíces son $\cos \alpha$ y $\cos \beta$.

2. Propiedades de las raíces (Vieta):
Para la primera ecuación:

• Suma: $\sin \alpha + \sin \beta = -a$


• Producto: $\sin \alpha \sin \beta = b$

Para la segunda ecuación:

• Suma: $\cos \alpha + \cos \beta = -c$


• Producto: $\cos \alpha \cos \beta = d$

3. Desarrollo de la expresión solicitada:
Se pide hallar $\sin(\alpha + \beta)$. Por identidad de ángulos compuestos:
$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $$

Elevamos al cuadrado las sumas de las raíces para relacionarlas con los productos:
De $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = (-a)^2$:
$$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta = a^2 $$
$$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = a^2 - 2b $$

De $(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = (-c)^2$:
$$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta = c^2 $$
$$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = c^2 - 2d $$

Sumamos ambas expresiones:
$$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = a^2 - 2b + c^2 - 2d $$
$$ 1 + 1 = a^2 + c^2 - 2(b + d) \implies a^2 + c^2 = 2 + 2b + 2d $$

Por otro lado, multiplicamos las sumas:
$$ (\sin \alpha + \sin \beta)(\cos \alpha + \cos \beta) = (-a)(-c) $$
$$ \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha + \sin \beta \cos \beta = ac $$
$$ \frac{1}{2}\sin 2\alpha + \sin(\alpha + \beta) + \frac{1}{2}\sin 2\beta = ac $$

Sin embargo, un camino más directo usando las opciones y las relaciones de productos:
Dividiendo la suma de senos entre la suma de cosenos:
$$ \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha + \cos \beta} = \frac{-a}{-c} = \frac{a}{c} $$
Usando transformaciones a producto:
$$ \frac{2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}} = \tan \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) = \frac{a}{c} $$

Si $\tan \theta = \frac{a}{c}$, entonces por identidad de ángulo doble $\sin(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$:
$$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{2(a/c)}{1 + (a/c)^2} = \frac{2a/c}{(c^2 + a^2)/c^2} = \frac{2ac}{a^2 + c^2} $$

Resultado:
$$ \boxed{\sin(\alpha + \beta) = \frac{2ac}{a^2 + c^2}} $$
La respuesta correcta es la (d).