1. Identificación de la estructura: Observamos que la expresión tiene la forma $\frac{\tan^2 \theta - 1}{\tan^2 \theta + 1}$.
Recordemos la identidad del coseno del ángulo doble expresada en términos de tangente:
$$ \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} $$

2. Manipulación algebraica:
Nuestra expresión es el negativo de la identidad anterior:
$$ \frac{\tan^2 \theta - 1}{\tan^2 \theta + 1} = -\left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = -\cos 2\theta $$

3. Sustitución:
Sea $\theta = 45^\circ + \alpha$. Entonces:
$$ -\cos(2(45^\circ + \alpha)) = -\cos(90^\circ + 2\alpha) $$

4. Aplicación de reducción al primer cuadrante:
Usando la propiedad $\cos(90^\circ + x) = -\sin x$:
$$ -(-\sin 2\alpha) = \sin 2\alpha $$

Resultado:
$$ \boxed{\sin 2\alpha} $$