1. Datos y propiedades:
Utilizaremos la propiedad de los ángulos complementarios para la función tangente y cotangente:

• Si $\alpha + \beta = 90^{\circ}$, entonces $\tan \alpha = \cot \beta$.
• Identidad recíproca: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

2. Desarrollo paso a paso:
Sea $E$ la expresión dada:
$$ E = (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) \cdot \dots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ} $$

Aplicando la propiedad de complementarios, sabemos que $\tan 89^{\circ} = \cot 1^{\circ}$, $\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$, y así sucesivamente:
$$ E = (\tan 1^{\circ} \cdot \cot 1^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \cot 2^{\circ}) \cdot \dots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \cot 44^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ} $$

Sabemos que $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ y que $\tan 45^{\circ} = 1$:
$$ E = (1) \cdot (1) \cdot \dots \cdot (1) \cdot 1 $$

3. Resultado final:
$$ \boxed{1} $$