1. Datos y fórmulas:
Sea $E = \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7}$. Utilizaremos la identidad del ángulo doble: $\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$, de donde $\cos \theta = \frac{\sin 2\theta}{2 \sin \theta}$.

2. Desarrollo paso a paso:
Multiplicamos y dividimos la expresión por $2\sin \frac{2\pi}{7}$:
$$ E = \frac{2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7}}{2 \sin \frac{2\pi}{7}} $$
Aplicando el ángulo doble en el numerador:
$$ E = \frac{\sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7}}{2 \sin \frac{2\pi}{7}} $$
Nuevamente multiplicamos por $2$ arriba y abajo:
$$ E = \frac{2 \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7}}{4 \sin \frac{2\pi}{7}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7}}{4 \sin \frac{2\pi}{7}} $$
Notemos que $\sin \frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin \frac{\pi}{7}$ y $\cos \frac{6\pi}{7} = \cos(\pi - \frac{\pi}{7}) = -\cos \frac{\pi}{7}$. Entonces:
$$ E = \frac{(-\sin \frac{\pi}{7})(-\cos \frac{\pi}{7})}{4 \sin \frac{2\pi}{7}} = \frac{\sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7}}{4 \sin \frac{2\pi}{7}} $$
Multiplicamos por $2$:
$$ E = \frac{2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{2\pi}{7}} = \frac{\sin \frac{2\pi}{7}}{8 \sin \frac{2\pi}{7}} $$
Simplificando $\sin \frac{2\pi}{7}$:
$$ E = \frac{1}{8} $$

3. Conclusión:
Se ha verificado la igualdad mediante transformaciones de ángulo doble.
$$ \boxed{\cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{6\pi}{7} = \frac{1}{8}} $$