1. Datos del problema:
Fracción trigonométrica con múltiples ángulos en el numerador y denominador.

2. Fórmulas usadas:

• $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
• $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
• $\sin 3\alpha = 2 \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}$ (o transformaciones directas)

3. Desarrollo paso a paso:
Numerador ($N$):
$$ \begin{aligned} N &= (\sin 5\alpha + \sin \alpha) + (\sin \alpha - \sin 3\alpha) \\ N &= 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \sin \alpha \cos 2\alpha \\ N &= 2 \cos 2\alpha (\sin 3\alpha - \sin \alpha) \\ N &= 2 \cos 2\alpha (2 \sin \alpha \cos 2\alpha) = 4 \sin \alpha \cos^2 2\alpha \quad \text{(revisando)} \end{aligned} $$
Alternativa más eficiente para $N$:
$$ N = \sin 5\alpha - \sin 3\alpha + \sin \alpha + \sin \alpha = 2 \cos 4\alpha \sin \alpha + 2 \sin \alpha = 2 \sin \alpha (1 + \cos 4\alpha) = 4 \sin \alpha \cos^2 2\alpha $$

Denominador ($D$):
$$ \begin{aligned} D &= (\cos 3\alpha + \cos \alpha) - 2 \cos 2\alpha \\ D &= 2 \cos 2\alpha \cos \alpha - 2 \cos 2\alpha \\ D &= 2 \cos 2\alpha (\cos \alpha - 1) \end{aligned} $$
Usando $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$, entonces $\cos \alpha - 1 = -2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$.
$$ D = -4 \cos 2\alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2} $$

Dividiendo $N/D$:
$$ \frac{4 \sin \alpha \cos^2 2\alpha}{-4 \cos 2\alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = - \frac{\sin \alpha \cos 2\alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} $$
Sabiendo que $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$:
$$ - \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos 2\alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} = - \frac{2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos 2\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = - \frac{2 \cos 2\alpha}{\tan \frac{\alpha}{2}} $$

4. Conclusión:
Identidad demostrada.
$$ \boxed{\frac{2 \sin \alpha - \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha - 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = -\frac{2 \cos 2\alpha}{\tan \frac{\alpha}{2}}} $$