Aprende con Inteligencia

Verificar la igualdad:
$$ \cos \frac{\pi}{20} \cos \frac{3\pi}{20} \cos \frac{7\pi}{20} \cos \frac{9\pi}{20} = -\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15} $$

Si se cumple el sistema:
$$ \begin{cases} \sin \alpha - \cos \alpha = m \\ \sin 2\alpha = n - m^2 \end{cases} $$
donar $-\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$, demuestre que $n = 1$.

Paso 1:
La suma de dos números de tres dígitos es igual a 1252. Ambos números están formados por los mismos dígitos pero en orden inverso. Encuentre estos números si la suma de los dígitos de cada número es 14 y la suma de sus cuadrados es 84.

Demostrar que:
$$ \arcsin \frac{4}{5} + \arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2} $$

Problema 211. Se tienen dos progresiones aritméticas crecientes, cada una de tres términos. La suma de los tres términos de cada una de ellas es 15. La razón de la primera es el doble de la segunda progresión, y el producto de los tres términos de la primera es al producto de los tres términos de la segunda como 3 es a 7.
Resp. 1ra PA: 1, 5, 9; 2da PA: 3, 5, 7

Sabiendo que $x, y, z$ son los ángulos interiores de un triangulo. Demuestre que:
$\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2\cos x \cos y \cos z = 2$

Demostrar la siguiente igualdad mediante el cálculo de la integral definida:
$$ \int_{0}^{\pi / 2} \sin \left(\cot ^{2}(x)\right) \sec ^{2}(x) dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}} $$

Paso 1:
Dos trenes partieron de los puntos $A$ y $B$ simultáneamente para encontrarse. La velocidad del primer tren excedía la del segundo en $10 \text{ km/h}$. Los trenes se encontraron en un punto a $28 \text{ km}$ de distancia del punto medio de $AB$. Si el primer tren hubiera partido de $A$ $45$ minutos más tarde que el segundo, entonces los trenes se habrían encontrado en el punto medio de $AB$. Hallar la distancia $AB$ y las velocidades de ambos trenes.

Sabiendo que $x, y, z$ son los ángulos interiores de un triángulo. Demuestre que:
$$sen^{2} x + sen^{2} y + sen^{2} z - 2\cos x \cos y \cos z = 2$$

Calcular la integral indefinida:
$$ \int e^x \arcsin(\tanh(x)) \, dx $$

Paso 1:
Simplificar: $E = \arctan\left( \frac{x \cos \theta}{1 - x \sin \theta} \right) - \text{arc cot}\left( \frac{\cos \theta}{x - \sin \theta} \right)$

Si $\sin 2A = \lambda \sin 2B$, demostrar que:
$$ \frac{\tan(A+B)}{\tan(A-B)} = \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1} $$