1. Datos del problema:
Ecuación con coeficientes unitarios en el primer miembro y $\sqrt{2}$ en el segundo.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Transformamos el lado izquierdo:
$$ \sqrt{2} \sin(5x + 45^\circ) = \sqrt{2} \cos 13x $$
$$ \sin(5x + 45^\circ) = \cos 13x $$
Convertimos el coseno a seno: $\cos 13x = \sin(90^\circ - 13x)$:
$$ \sin(5x + 45^\circ) = \sin(90^\circ - 13x) $$
Esto implica dos posibilidades generales:
1) $5x + 45^\circ = 90^\circ - 13x + 360^\circ k$
$$ 18x = 45^\circ + 360^\circ k \implies x = 2.5^\circ + 20^\circ k $$
2) $5x + 45^\circ = 180^\circ - (90^\circ - 13x) + 360^\circ k$
$$ 5x + 45^\circ = 90^\circ + 13x + 360^\circ k $$
$$ -8x = 45^\circ + 360^\circ k \implies x = -5.625^\circ - 45^\circ k $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}; \quad x = -\frac{\pi}{32} - \frac{\pi k}{4}} $$