1. Datos del problema:

• Expresión inicial: $\frac{s^5 - c^5}{s - c} = a + b \text{ sen } 2x + c \cos 4x$ (donde $s = \text{sen } x$ y $c = \cos x$).

2. Fórmulas/Propiedades:

• Cociente notable: $\frac{u^5 - v^5}{u - v} = u^4 + u^3v + u^2v^2 + uv^3 + v^4$


• $\text{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$


• $\text{sen } 2x = 2 \text{ sen } x \cos x$


• $\cos 4x = 1 - 2 \text{ sen}^2 2x$

3. Desarrollo paso a paso:

• Desarrollamos el cociente del lado izquierdo:

$E = \text{sen}^4 x + \text{sen}^3 x \cos x + \text{sen}^2 x \cos^2 x + \text{sen } x \cos^3 x + \cos^4 x$

• Agrupamos términos convenientemente:

$E = (\text{sen}^4 x + \cos^4 x) + \text{sen } x \cos x (\text{sen}^2 x + \cos^2 x) + \text{sen}^2 x \cos^2 x$

• Sustituimos identidades conocidas:

$E = (1 - 2\text{sen}^2 x \cos^2 x) + \text{sen } x \cos x (1) + \text{sen}^2 x \cos^2 x$
$E = 1 + \text{sen } x \cos x - \text{sen}^2 x \cos^2 x$

• Expresamos en términos de $2x$:

$E = 1 + \frac{1}{2} \text{ sen } 2x - \frac{1}{4} \text{ sen}^2 2x$

• Usamos $\text{sen}^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ para llegar a la forma del enunciado:

$E = 1 + \frac{1}{2} \text{ sen } 2x - \frac{1}{4} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right)$
$E = 1 + \frac{1}{2} \text{ sen } 2x - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos 4x$
$E = \frac{7}{8} + \frac{1}{2} \text{ sen } 2x + \frac{1}{8} \cos 4x$

• Identificamos coeficientes: $a = 7/8$, $b = 1/2 = 4/8$, $c = 1/8$.


• Calculamos $Z$:

$Z = \frac{7/8 + 4/8}{1/8} = \frac{11/8}{1/8} = 11$

4. Resultado final:
$$Z = 11$$