1. Desarrollo de la tangente de una suma:
Sabemos que $\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$. Por la fórmula $\tan(A+B)$:
$$ \tan \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan x}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan x} = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} $$

2. Sustitución en la ecuación:
Sea $u = \tan x$. La ecuación se transforma en:
$$ \frac{1 + u}{1 - u} + u - 2 = 0 $$
Multiplicamos por $(1 - u)$ (donde $u \neq 1$):
$$ 1 + u + u(1 - u) - 2(1 - u) = 0 $$
$$ 1 + u + u - u^2 - 2 + 2u = 0 \Rightarrow -u^2 + 4u - 1 = 0 $$
Multiplicando por $-1$:
$$ u^2 - 4u + 1 = 0 $$

3. Resolución de la ecuación cuadrática:
Aplicamos la fórmula general:
$$ u = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} $$
$$ u_1 = 2 + \sqrt{3}, \quad u_2 = 2 - \sqrt{3} $$

4. Cálculo de ángulos:

• Para $\tan x = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow x = 75^\circ$. Por periodicidad: $x = 75^\circ + 180^\circ = 255^\circ$.
• Para $\tan x = 2 - \sqrt{3} \Rightarrow x = 15^\circ$. Por periodicidad: $x = 15^\circ + 180^\circ = 195^\circ$.

5. Resumen de soluciones:
$$ \begin{array}{ll} x_1 = 15^\circ & x_2 = 75^\circ \\ x_3 = 195^\circ & x_4 = 255^\circ \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = 15^\circ; 75^\circ; 195^\circ; 255^\circ} $$