1. Datos del problema:

• Identidad a demostrar: $\tan x + \tan y + \tan z - \frac{\sin(x+y+z)}{\cos x \cos y \cos z} = \tan x \tan y \tan z$

2. Fórmulas/Propiedades:

• Desarrollo de $\sin(x+y+z)$:
  $\sin(x+y+z) = \sin x \cos y \cos z + \cos x \sin y \cos z + \cos x \cos y \sin z - \sin x \sin y \sin z$

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del término fraccionario:
$$ \frac{\sin(x+y+z)}{\cos x \cos y \cos z} = \frac{\sin x \cos y \cos z + \cos x \sin y \cos z + \cos x \cos y \sin z - \sin x \sin y \sin z}{\cos x \cos y \cos z} $$

Distribuimos el denominador para cada término del numerador:
$$ \frac{\sin x \cos y \cos z}{\cos x \cos y \cos z} + \frac{\cos x \sin y \cos z}{\cos x \cos y \cos z} + \frac{\cos x \cos y \sin z}{\cos x \cos y \cos z} - \frac{\sin x \sin y \sin z}{\cos x \cos y \cos z} $$

Simplificamos cada fracción:
$$ \tan x + \tan y + \tan z - (\tan x \tan y \tan z) $$

Sustituimos esto de vuelta en la expresión original del lado izquierdo:
$$ (\tan x + \tan y + \tan z) - [\tan x + \tan y + \tan z - \tan x \tan y \tan z] $$

Simplificando los términos:
$$ \tan x + \tan y + \tan z - \tan x - \tan y - \tan z + \tan x \tan y \tan z $$
$$ = \tan x \tan y \tan z $$

4. Resultado final:
Se ha demostrado que el lado izquierdo es igual al lado derecho. Q.E.D.