Podemos expresar el lado izquierdo usando la identidad $a\cos \theta - b\sin \theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha - \theta)$ o transformando mediante ángulos complementarios.

Sea $L = \cos 18^\circ - \sin 18^\circ$.
Sabemos que $\cos 18^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \sin 72^\circ$.
Entonces:
$$ L = \sin 72^\circ - \sin 18^\circ $$
Usando la fórmula de transformación de diferencia de senos a producto: $\sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$.
$$ \begin{aligned} L &= 2 \cos\left(\frac{72^\circ+18^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{72^\circ-18^\circ}{2}\right) \\ &= 2 \cos(45^\circ) \sin(27^\circ) \\ &= 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \sin 27^\circ = \sqrt{2} \sin 27^\circ \end{aligned} $$
Queda demostrado.
$$ \boxed{\cos 18^\circ - \sin 18^\circ = \sqrt{2} \sin 27^\circ} $$