1. Factorización:
Expandimos la segunda ecuación:
$$ (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 20(x+y) \implies (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) = 20(x+y) $$
Si $x+y \neq 0$, simplificamos:
$$ (1) \quad (x-y)(x^2 + y^2) = 20 $$
Para la primera ecuación:
$$ (2) \quad (x-y)(x^2 + xy + y^2) = 26 $$

2. División de ecuaciones:
Dividimos (2) entre (1):
$$ \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{(x-y)(x^2 + y^2)} = \frac{26}{20} \implies \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2 + y^2} = \frac{13}{10} $$
Multiplicamos en cruz:
$$ 10x^2 + 10xy + 10y^2 = 13x^2 + 13y^2 \implies 3x^2 - 10xy + 3y^2 = 0 $$
Factorizamos: $(3x - y)(x - 3y) = 0$.

3. Hallar valores:
Caso 1: $y = 3x$. Sustituimos en $x^3 - y^3 = 26$:
$$ x^3 - (3x)^3 = 26 \implies x^3 - 27x^3 = 26 \implies -26x^3 = 26 \implies x = -1 $$
Si $x = -1$, entonces $y = -3$.
Caso 2: $x = 3y$. Sustituimos en $x^3 - y^3 = 26$:
$$ (3y)^3 - y^3 = 26 \implies 27y^3 - y^3 = 26 \implies 26y^3 = 26 \implies y = 1 $$
Si $y = 1$, entonces $x = 3$.

Resultado final:
$$ \boxed{(x, y) \in \{(3, 1), (-1, -3)\}} $$