1. Simplificación de las ecuaciones:
Para la primera ecuación, sumamos las fracciones:
$$ \frac{x^3 + y^3}{xy} = 12 \quad \text{(i)} $$
Para la segunda ecuación:
$$ \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{3} \implies xy = 3(x + y) \quad \text{(ii)} $$

2. Cambio de variable:
Sea $s = x + y$ y $p = xy$. De la ecuación (ii) tenemos $p = 3s$.
Sustituimos en (i) usando la identidad $x^3 + y^3 = s(s^2 - 3p)$:
$$ \frac{s(s^2 - 3p)}{p} = 12 $$
Sustituyendo $p = 3s$:
$$ \frac{s(s^2 - 3(3s))}{3s} = 12 $$
$$ \frac{s^2 - 9s}{3} = 12 \implies s^2 - 9s = 36 $$
$$ s^2 - 9s - 36 = 0 $$

3. Resolución para $s$:
Factorizamos la ecuación cuadrática:
$$ (s - 12)(s + 3) = 0 $$
Obtenemos dos casos:

Caso A: $s = 12$
Si $s = 12$, entonces $p = 3(12) = 36$.
La ecuación para $x, y$ es: $t^2 - 12t + 36 = 0 \implies (t - 6)^2 = 0$.
Esto nos da $x = 6, y = 6$.

Caso B: $s = -3$
Si $s = -3$, entonces $p = 3(-3) = -9$.
La ecuación para $x, y$ es: $t^2 + 3t - 9 = 0$.
Aplicando la fórmula general:
$$ t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2} $$

Resultado final:
Las soluciones reales $(x, y)$ son:
$$ \boxed{(6, 6), \left( \frac{-3+3\sqrt{5}}{2}, \frac{-3-3\sqrt{5}}{2} \right), \left( \frac{-3-3\sqrt{5}}{2}, \frac{-3+3\sqrt{5}}{2} \right)} $$