Datos del problema:
Para la primera ecuación $x^2 - 5x + m = 0$, por el teorema de Vieta:

• Suma de raíces: $x_1 + x_2 = 5$
• Producto de raíces: $x_1 \cdot x_2 = m$

Para la segunda ecuación $x^2 - 80x + n = 0$:

• Suma de raíces: $x_3 + x_4 = 80$
• Producto de raíces: $x_3 \cdot x_4 = n$

Propiedades de la Progresión Geométrica (P.G.):
Como $x_1, x_2, x_3, x_4$ están en P.G. creciente, podemos definirlos como:
$$ \underbrace{a}_{x_1}, \underbrace{a \cdot r}_{x_2}, \underbrace{a \cdot r^2}_{x_3}, \underbrace{a \cdot r^3}_{x_4} $$
Donde $a$ es el primer término y $r > 1$ (razón creciente).

Desarrollo paso a paso:

1. Sustituimos los términos en las sumas de las raíces:
$$ \begin{cases} (1) \quad a + ar = 5 \Rightarrow a(1 + r) = 5 \\ (2) \quad ar^2 + ar^3 = 80 \Rightarrow ar^2(1 + r) = 80 \end{cases} $$

2. Dividimos la ecuación (2) entre la ecuación (1):
$$ \frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{80}{5} \Rightarrow r^2 = 16 $$
Como la progresión es creciente, tomamos el valor positivo: $r = \sqrt{16} = 4$.

3. Hallamos el valor de $a$ sustituyendo $r$ en la ecuación (1):
$$ a(1 + 4) = 5 \Rightarrow 5a = 5 \Rightarrow a = 1 $$

4. Ahora calculamos los valores de las raíces:
$$ \begin{array}{ll} x_1 = 1 & x_2 = 1 \cdot 4 = 4 \\ x_3 = 1 \cdot 4^2 = 16 & x_4 = 1 \cdot 4^3 = 64 \end{array} $$

5. Finalmente, calculamos $m$ y $n$ mediante el producto de raíces:
$$ \begin{array}{l} m = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 4 = 4 \\ n = x_3 \cdot x_4 = 16 \cdot 64 = 1024 \end{array} $$

Calculamos la suma solicitada:
$$ m + n = 4 + 1024 = 1028 $$

$$ \boxed{m + n = 1028} $$