I
MATU • Algebra
MATU_ALG_016
Admisión pre facultativo II-2006 (UMSA)
Enunciado
Si el polinomio
$$ P(x,y)=(10-m)x^{2}y+nxy^{2}+5x^{2}y-2xy^{2} $$
es idénticamente nulo, hallar $m^n$.
$$ P(x,y)=(10-m)x^{2}y+nxy^{2}+5x^{2}y-2xy^{2} $$
es idénticamente nulo, hallar $m^n$.
Solución Paso a Paso
Datos del problema
Agrupando términos semejantes
$$ P(x,y)=(10-m)x^{2}y+5x^{2}y+nxy^{2}-2xy^{2} =\underbrace{(10-m+5)}_{\text{coef. de }x^{2}y}x^{2}y+\underbrace{(n-2)}_{\text{coef. de }xy^{2}}xy^{2}. $$
Condición de nulidad
Para que $P(x,y)\equiv 0$:
$$ \begin{cases} 10-m+5=0,\\ n-2=0. \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} m=15,\\ n=2. \end{cases} $$
Resultado final
$$ m^n=15^{2}=225. $$
$$ \boxed{m^n=225} $$
- $P(x,y)$ es idénticamente nulo $\Rightarrow$ todos los coeficientes de cada monomio deben anularse.
- Monomios presentes: $x^{2}y$ y $xy^{2}$.
Agrupando términos semejantes
$$ P(x,y)=(10-m)x^{2}y+5x^{2}y+nxy^{2}-2xy^{2} =\underbrace{(10-m+5)}_{\text{coef. de }x^{2}y}x^{2}y+\underbrace{(n-2)}_{\text{coef. de }xy^{2}}xy^{2}. $$
Condición de nulidad
Para que $P(x,y)\equiv 0$:
$$ \begin{cases} 10-m+5=0,\\ n-2=0. \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} m=15,\\ n=2. \end{cases} $$
Resultado final
$$ m^n=15^{2}=225. $$
$$ \boxed{m^n=225} $$