1. Datos del problema:

• Producto de tres términos logarítmicos con bases y argumentos que involucran potencias de $a$.


• Igualdad establecida con $\sqrt{2}$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Propiedad de la potencia: $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$


• Raíz como exponente fraccionario: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$


• Propiedad fundamental: $\log_a a = 1$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Simplificar el primer factor.

$$\log_{a^{1/2}} a^{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{1/2} \log_a a = 2\sqrt{a}$$

• Paso 2: Simplificar el segundo factor.

Primero simplificamos el argumento: $\sqrt[a]{a^{\sqrt{a}}} = (a^{\sqrt{a}})^{1/a} = a^{\frac{\sqrt{a}}{a}} = a^{a^{-1/2}} = a^{\frac{1}{\sqrt{a}}}$.
Luego:
$$\log_a a^{\frac{1}{\sqrt{a}}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$$

• Paso 3: Simplificar el tercer factor.

$$\log_{a^{\sqrt{a}}} a^{1/2} = \frac{1/2}{\sqrt{a}} \log_a a = \frac{1}{2\sqrt{a}}$$

• Paso 4: Multiplicar los factores obtenidos.

$$(2\sqrt{a}) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{a}} \right) = \sqrt{2}$$
Simplificamos los términos comunes $2$ y $\sqrt{a}$:
$$\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{2}$$

• Paso 5: Despejar la variable $a$.

Invertimos la ecuación:
$$\sqrt{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz:
$$a = \frac{1}{2}$$

4. Resultado final:
$$ \boxed{a = \frac{1}{2}} $$
El valor de $a$ es $1/2$. La opción correcta es la (d).