1. Datos del problema:
Uso de identidades de ángulo triple para simplificar la expresión.

2. Formulas usadas:

• $\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$
• $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos en el primer término:
$$ \frac{\cos^3 \alpha - (4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha)}{\cos \alpha} = \frac{3\cos \alpha - 3\cos^3 \alpha}{\cos \alpha} = 3 - 3\cos^2 \alpha $$
Sustituimos en el segundo término:
$$ \frac{\sin^3 \alpha + (3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{3\sin \alpha - 3\sin^3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 3\sin^2 \alpha $$
Sumamos ambos resultados:
$$ (3 - 3\cos^2 \alpha) + (3 - 3\sin^2 \alpha) = 6 - 3(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $$
Como $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$$ 6 - 3(1) = 3 $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{3 = 3} $$