1. Definición de la desigualdad:
Queremos probar que $a^3 + b^3 \geq ab(a + b)$.

2. Factorización de la suma de cubos:
Recordamos la fórmula: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Sustituimos en la desigualdad:
$$ (a + b)(a^2 - ab + b^2) \geq ab(a + b) $$

3. Análisis por casos:
Caso 1: $a + b > 0$
Podemos simplificar $(a + b)$ dividiendo en ambos miembros:
$$ a^2 - ab + b^2 \geq ab $$
Restamos $ab$ en ambos miembros:
$$ a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 $$
$$ (a - b)^2 \geq 0 $$
Lo cual es siempre cierto para cualquier $a, b \in \mathbb{R}$.

Caso 2: $a + b = 0$
Sustituimos directamente en la expresión original $ab(a+b) \leq a^3+b^3$:
$$ ab(0) \leq a^3 + (-a)^3 $$
$$ 0 \leq a^3 - a^3 $$
$$ 0 \leq 0 $$
La igualdad se cumple.

4. Conclusión:
$$ \boxed{ab(a + b) \leq a^3 + b^3} $$