1. Datos del problema:

• Lado izquierdo (L.I.): $\tan^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$
• Lado derecho (L.D.): $\frac{1-\sin 2\alpha}{1+\sin 2\alpha}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A \tan B}$
• $\tan \frac{\pi}{4} = 1$
• $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$
• $(\cos \alpha \pm \sin \alpha)^{2} = 1 \pm \sin 2\alpha$

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del L.I.:
$$ \left( \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \alpha}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \alpha} \right)^{2} = \left( \frac{1 - \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} \right)^{2} $$
Expresando en senos y cosenos:
$$ \left( \frac{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \right)^{2} = \left( \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} \right)^{2} $$
Desarrollando los cuadrados:
$$ \frac{\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha} $$
Usando la identidad pitagórica y el ángulo doble:
$$ \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} $$

4. Resultado final:
Se demuestra que $L.I. = L.D.$