Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_065
Examen de admisión
Enunciado
De los siguientes polinomios, ¿cuántos son primos?
I) $A_{(x)} = x^3 + x - 1$
II) $B_{(x)} = x^3 + 2x - 2$
III) $C_{(x)} = 2x^3 + x^2 + 1$
IV) $D_{(x)} = 3x^3 + 2x^2 - 6x + 1$
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
I) $A_{(x)} = x^3 + x - 1$
II) $B_{(x)} = x^3 + 2x - 2$
III) $C_{(x)} = 2x^3 + x^2 + 1$
IV) $D_{(x)} = 3x^3 + 2x^2 - 6x + 1$
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema: Analizar la reducibilidad de cuatro polinomios cúbicos.
2. Desarrollo paso a paso:
No tiene raíces racionales, por lo tanto, es primo.
No tiene raíces racionales, por lo tanto, es primo.
Como $x = -1$ es raíz, $(x + 1)$ es un factor. No es primo.
Como $x = 1$ es raíz, $(x - 1)$ es un factor. No es primo.
3. Resultado final: Hay 2 polinomios primos (I y II). La respuesta es la B.
2. Desarrollo paso a paso:
- $A(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1 \neq 0$
- $A(-1) = (-1)^3 + (-1) - 1 = -3 \neq 0$
No tiene raíces racionales, por lo tanto, es primo.
- $B(1) = 1 + 2 - 2 = 1 \neq 0$
- $B(-1) = -1 - 2 - 2 = -5 \neq 0$
- $B(2) = 8 + 4 - 2 = 10 \neq 0$
- $B(-2) = -8 - 4 - 2 = -14 \neq 0$
No tiene raíces racionales, por lo tanto, es primo.
- $C(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$.
Como $x = -1$ es raíz, $(x + 1)$ es un factor. No es primo.
- $D(1) = 3(1)^3 + 2(1)^2 - 6(1) + 1 = 3 + 2 - 6 + 1 = 0$.
Como $x = 1$ es raíz, $(x - 1)$ es un factor. No es primo.
3. Resultado final: Hay 2 polinomios primos (I y II). La respuesta es la B.