Para racionalizar denominadores con raíces cúbicas de la forma $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$, utilizamos la identidad de la diferencia de cubos:
$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$

1. Identificación de términos:
Sea $a = \sqrt[3]{15}$ y $b = \sqrt[3]{7}$. Para eliminar la raíz, necesitamos multiplicar por el factor racionalizante $F.R. = a^2 + ab + b^2$:

• $a^2 = (\sqrt[3]{15})^2 = \sqrt[3]{225}$
• $ab = \sqrt[3]{15} \cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{105}$
• $b^2 = (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{49}$

2. Aplicación del factor racionalizante:
Multiplicamos numerador y denominador por $(\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{105} + \sqrt[3]{49})$:
$$ \frac{1}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{7}} \cdot \frac{\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{105} + \sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{105} + \sqrt[3]{49}} = \frac{\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{105} + \sqrt[3]{49}}{(\sqrt[3]{15})^3 - (\sqrt[3]{7})^3} $$

3. Simplificación del denominador:
El denominador resulta en:
$$ 15 - 7 = 8 $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{\sqrt[3]{225} + \sqrt[3]{105} + \sqrt[3]{49}}{8}} $$