1. Simplificación del numerador ($N$) Sea $x = \log_a b$. Trabajamos con el segundo término del numerador usando cambio de base a base $a$:
$$ \log_{\frac{\sqrt{a}}{b^3}} \sqrt{b} = \frac{\log_a \sqrt{b}}{\log_a \left(\frac{\sqrt{a}}{b^3}\right)} = \frac{\frac{1}{2}\log_a b}{\frac{1}{2}\log_a a - 3\log_a b} = \frac{\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2} - 3x} = \frac{x}{1 - 6x} $$
Entonces:
$$ N = x - \frac{x}{1-6x} = \frac{x(1-6x) - x}{1-6x} = \frac{x - 6x^2 - x}{1-6x} = \frac{-6x^2}{1-6x} $$

2. Simplificación del denominador ($D$) Usamos cambio de base a base $a$ para cada término:
$$ \log_{\frac{a}{b^4}} b = \frac{\log_a b}{\log_a a - 4\log_a b} = \frac{x}{1 - 4x} $$
$$ \log_{\frac{a}{b^6}} b = \frac{\log_a b}{\log_a a - 6\log_a b} = \frac{x}{1 - 6x} $$
Restamos:
$$ D = \frac{x}{1-4x} - \frac{x}{1-6x} = \frac{x(1-6x) - x(1-4x)}{(1-4x)(1-6x)} = \frac{x - 6x^2 - x + 4x^2}{(1-4x)(1-6x)} = \frac{-2x^2}{(1-4x)(1-6x)} $$

3. División de la fracción principal $$ \frac{N}{D} = \frac{-6x^2}{1-6x} \cdot \frac{(1-4x)(1-6x)}{-2x^2} = 3(1-4x) = 3 - 12x $$

4. Simplificación del divisor final ($S$) Transformamos el término final a base $a$ o simplemente usamos propiedades en base $b$:
$$ S = \log_b (a^3 b^{-12}) = 3\log_b a - 12 = 3\left(\frac{1}{x}\right) - 12 = \frac{3 - 12x}{x} $$

5. Operación final Dividimos el resultado del paso 3 por el resultado del paso 4:
$$ \text{Resultado} = (3 - 12x) \div \frac{3 - 12x}{x} = (3 - 12x) \cdot \frac{x}{3 - 12x} = x $$
Volviendo a la variable original: $x = \log_a b$.

$$ \boxed{\log_a b} $$