1. Datos y variables:

• Cono (constante): Radio de la base $r$, altura $h$.
• Cilindro (variable): Radio de la base $R$, altura $H$.

2. Relación geométrica:
Por semejanza de triángulos en la sección transversal del cono y el cilindro, tenemos la relación:
$$ \frac{h - H}{R} = \frac{h}{r} \implies H = h \left( 1 - \frac{R}{r} \right) = \frac{h}{r}(r - R) $$

3. Parte (a): Volumen máximo
La función a optimizar es el volumen del cilindro $V = \pi R^2 H$. Sustituyendo $H$:
$$ V(R) = \pi R^2 \left[ \frac{h}{r}(r - R) \right] = \frac{\pi h}{r} (r R^2 - R^3) $$
Derivamos respecto a $R$ e igualamos a cero:
$$ V'(R) = \frac{\pi h}{r} (2rR - 3R^2) = 0 \implies R(2r - 3R) = 0 $$
Como $R \neq 0$, el punto crítico es $3R = 2r$, por lo tanto:
$$ \boxed{R = \frac{2}{3}r} $$

4. Parte (b): Área lateral máxima
La función es el área lateral $A_L = 2\pi RH$. Sustituyendo $H$:
$$ A_L(R) = 2\pi R \left[ \frac{h}{r}(r - R) \right] = \frac{2\pi h}{r} (rR - R^2) $$
Derivamos respecto a $R$:
$$ A_L'(R) = \frac{2\pi h}{r} (r - 2R) = 0 \implies r = 2R $$
Por lo tanto:
$$ \boxed{R = \frac{1}{2}r} $$