Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Sea $y = \frac{2^{\log_{2^{1/4}} x} - 3^{\log_{27}(x^2+1)^3} - 2x}{7^{4\log_{49}x} - x - 1}$ y $\frac{dy}{dx} = ax + b$, entonces el valor de $a + b$ es:

Evalúe la integral:
$$\int_{1}^{2} (x-1)^{1/2} (2-x)^{1/2} \, dx$$

Paso 1:
Sea $y = e^{x \sin x^3} + (\tan x)^x$. Encontrar $\frac{dy}{dx}$.

Paso 1:
Un rectángulo está inscrito en la elipse $x^2/400 + y^2/225 = 1$ con sus lados paralelos a los ejes de la elipse. Hallar las dimensiones del rectángulo de (a) área máxima y (b) perímetro máximo que puede inscribirse.

Paso 1:
Un cilindro circular recto está inscrito en un cono circular recto de radio $r$. Encuentre el radio $R$ del cilindro: (a) si su volumen es máximo; (b) si su área lateral es máxima.

Paso 1:
Sea $y = f(x)$, donde $f$ satisface la relación $f(x + y) = f(x) + f(y) + x\sqrt{f(y)} + y\sqrt{f(x)}$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ y $f'(0) = 0$. Calcule el valor de $f(6)$.

Utilice diferenciales para aproximar:
(a) $\sqrt[4]{17}$, (b) $\sqrt[5]{1020}$, (c) $\cos 59^\circ$, y (d) $\tan 44^\circ$.

Paso 1:
Probar el teorema complementario para una función decreciente: Si $f'(x_0) < 0$, entonces $f(x)$ es decreciente en $x_0$.

Paso 1:
La función $f(x) = \frac{x-1}{ax^2 + bx + c}$ tiene un punto de inflexión en $(-2, -1)$ y un extremo relativo en $x = 1 + \sqrt{3}$. Halle $a, b, c$.

Paso 1:
Una pared de $8 \text{ ft}$ de altura está a $3\frac{3}{8} \text{ ft}$ de una casa. Hallar la longitud de la escalera más corta que llegue desde el suelo hasta la casa apoyándose en la pared.

Paso 1:
Demuestre que la elipse $4x^2 + 9y^2 = 45$ y la hipérbola $x^2 - 4y^2 = 5$ son ortogonales.

Probar:
(a) La suma de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ es una constante.
(b) La suma de los cuadrados de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier tangente a la curva $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ es una constante.