1. Datos y geometría:
Sea $r$ el radio de la esfera (constante) y $R, h$ el radio y la altura del cono.
Por Pitágoras en la sección transversal de la esfera:
$$ R^2 + (h - r)^2 = r^2 \implies R^2 = r^2 - (h^2 - 2hr + r^2) = 2hr - h^2 $$

2. Función a optimizar:
El volumen del cono es $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$. Sustituimos $R^2$:
$$ V(h) = \frac{1}{3}\pi (2hr - h^2)h = \frac{\pi}{3} (2rh^2 - h^3) $$

3. Desarrollo:
Derivamos respecto a $h$:
$$ V'(h) = \frac{\pi}{3} (4rh - 3h^2) $$
Igualamos a cero para encontrar el máximo:
$$ h(4r - 3h) = 0 \implies h = \frac{4}{3}r \quad (\text{ya que } h \neq 0) $$
Calculamos el radio $R$ correspondiente:
$$ R^2 = 2\left(\frac{4}{3}r\right)r - \left(\frac{4}{3}r\right)^2 = \frac{8}{3}r^2 - \frac{16}{9}r^2 = \frac{24-16}{9}r^2 = \frac{8}{9}r^2 $$
Extrayendo la raíz cuadrada:
$$ R = \sqrt{\frac{8}{9}r^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}r $$

4. Resultado:
$$ \boxed{R = \frac{2}{3}r\sqrt{2}} $$