Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Hallar la ecuación del círculo de curvatura de la parábola $y^2 = 12x$ en los puntos $(0, 0)$ y $(3, 6)$.

Calcular la integral:
$$ \int \frac{x \cos x + 1}{\sqrt{2x^3 e^{\sin x} + x^2}} dx = $$

(a) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} - 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1} \right) + c \)

(b) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1} \right) + c \)

(c) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} + 1} \right) + c \)

(d) \( \log \left( \frac{\sqrt{2x e^{\sin x} + 1} + 1}{\sqrt{2x e^{\sin x} - 1} - 1} \right) + c \)

Evaluar:
$$ \int \frac{x}{\sqrt{3x + 1}} dx $$

Paso 1:
Resolver la integral: $\int x^{-2} \sqrt[3]{1+x^3} \, dx$

Hallar la diferencial $dy$ para la siguiente función:
$$ y = e^{4x^2} $$

Paso 1:
Si $f(x) = \log_{x}(\log x)$, entonces el valor de $f'(x)$ en $x = e$ es:

Si: $f(x) = \frac{1-16x^2}{x^2-16}$; $0 \le x \le 1$ y $g(x) = \sqrt[4]{\frac{1+16x}{x+16}}$; $-\frac{1}{16} \le x \le 1$. \\
Determine: $(f^{-1} \circ g^{-1})(x)$

Evaluar la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{1 + e^{x}} $$

Evaluar:
$$ \int \frac{2 \sin x + 3}{(3 \sin x + 2)^2} dx $$
*Nota: Este tipo de integrales se resuelven típicamente mediante manipulación algebraica en el numerador para separar la fracción.*

Calcular:
$$\int \frac{e^x}{(1+e^x)\ln(1+e^x)} dx$$

Sea $\sigma$ un número positivo y sea $t_n = \sigma + \frac{(-1)^n}{n}$ para cada entero positivo $n$.

1. [(a)] Demuestre que la sucesión $(t_n)$ converge a $\sigma$.
2. [(b)] Demuestre que para cada entero par $n$, $t_{n+1} < \sigma < t_n$.

Hallar la derivada de la función implícita:
$$ x \cos y = \sin(x + y) $$