Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_696
IIT-JEE 2012
Enunciado
Sea $f: (-1, 1) \to R$ tal que $f(\cos 4\theta) = \frac{2}{2 - \sec^2 \theta}$ para $\theta \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$. Entonces los valores de $f\left(\frac{1}{3}\right)$ son:
(a) $1 - \sqrt{\frac{3}{2}}$
(b) $1 + \sqrt{\frac{3}{2}}$
(c) $1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$
(d) $1 + \sqrt{\frac{2}{3}}$
(a) $1 - \sqrt{\frac{3}{2}}$
(b) $1 + \sqrt{\frac{3}{2}}$
(c) $1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$
(d) $1 + \sqrt{\frac{2}{3}}$
Solución Paso a Paso
1. Expresar la función en términos de $\cos \theta$:
$f(\cos 4\theta) = \frac{2}{2 - \frac{1}{\cos^2 \theta}} = \frac{2 \cos^2 \theta}{2 \cos^2 \theta - 1} = \frac{1 + \cos 2\theta}{\cos 2\theta} = 1 + \frac{1}{\cos 2\theta}$
2. Relacionar el argumento:
Sea $x = \cos 4\theta$. Sabemos que $\cos 4\theta = 2 \cos^2 2\theta - 1$.
Entonces $\cos 2\theta = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2}}$.
Sustituyendo en la función:
$f(x) = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{2}}} = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{x + 1}}$
3. Calcular $f(1/3)$:
$f(1/3) = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{1/3 + 1}} = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{4/3}} = 1 \pm \sqrt{\frac{6}{4}} = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$
$$ \boxed{\text{Opciones (a) y (b)}} $$
$f(\cos 4\theta) = \frac{2}{2 - \frac{1}{\cos^2 \theta}} = \frac{2 \cos^2 \theta}{2 \cos^2 \theta - 1} = \frac{1 + \cos 2\theta}{\cos 2\theta} = 1 + \frac{1}{\cos 2\theta}$
2. Relacionar el argumento:
Sea $x = \cos 4\theta$. Sabemos que $\cos 4\theta = 2 \cos^2 2\theta - 1$.
Entonces $\cos 2\theta = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2}}$.
Sustituyendo en la función:
$f(x) = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{2}}} = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{x + 1}}$
3. Calcular $f(1/3)$:
$f(1/3) = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{1/3 + 1}} = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{4/3}} = 1 \pm \sqrt{\frac{6}{4}} = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$
$$ \boxed{\text{Opciones (a) y (b)}} $$