1. Datos del problema:
Identidad que involucra senos, cosenos y funciones recíprocas.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\sec x - \tan x = \frac{1}{\cos x} - \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{1 - \operatorname{sen} x}{\cos x}$
• $\frac{1}{\sec x - \tan x} = \frac{\cos x}{1 - \operatorname{sen} x}$

3. Desarrollo paso a paso:
Trabajamos con el lado izquierdo (L.I.) multiplicando por $(\operatorname{sen} x - (\cos x - 1))$ no es eficiente. Probemos multiplicando cruzado o simplificando el L.I.
Dividimos numerador y denominador del L.I. entre $\cos x$:
$$\frac{\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} - 1 + \frac{1}{\cos x}}{\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} + 1 - \frac{1}{\cos x}} = \frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1}$$

Recordamos que $\sec^2 x - \tan^2 x = 1 \implies (\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$.
Sustituimos el $1$ del numerador:
$$\frac{(\tan x + \sec x) - (\sec^2 x - \tan^2 x)}{\tan x - \sec x + 1} = \frac{(\sec x + \tan x) - (\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)}{\tan x - \sec x + 1}$$
Factorizamos $(\sec x + \tan x)$ en el numerador:
$$\frac{(\sec x + \tan x) [1 - (\sec x - \tan x)]}{\tan x - \sec x + 1} = \frac{(\sec x + \tan x) (1 - \sec x + \tan x)}{\tan x - \sec x + 1}$$
Cancelamos los términos iguales en numerador y denominador:
$$\sec x + \tan x$$
Finalmente, sabemos que $\sec x + \tan x = \frac{(\sec x + \tan x)(\sec x - \tan x)}{\sec x - \tan x} = \frac{1}{\sec x - \tan x}$.

4. Resultado final:
Queda demostrada la igualdad.