1. Datos del problema:
Se busca simplificar la expresión $E = \sqrt{3} \csc(20^\circ) - \sec(20^\circ)$.

2. Fórmulas y propiedades:

• $\csc \theta = \dfrac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta}$
• $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
• $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$
• $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \implies \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

3. Desarrollo paso a paso:
Convertimos los términos a senos y cosenos:
$$ E = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} - \frac{1}{\cos 20^\circ} $$
Realizamos la resta de fracciones:
$$ E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Multiplicamos y dividimos el numerador por $2$:
$$ E = \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Sustituimos $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ$ y $\frac{1}{2} = \cos 60^\circ$:
$$ E = \frac{2 (\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \cos 60^\circ \sin 20^\circ)}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Aplicamos la identidad de la diferencia de ángulos en el numerador y multiplicamos por $\frac{2}{2}$ para formar el ángulo doble en el denominador:
$$ E = \frac{2 \sin(60^\circ - 20^\circ)}{\frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{2}} = \frac{2 \sin 40^\circ}{\frac{\sin 40^\circ}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{4} $$
La respuesta correcta es el inciso (c).