Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_649
Examen de admisión
Enunciado
Relacione las siguientes columnas según el valor de las expresiones trigonométricas:
\begin{array}{ll}
Columna I & Columna II \\
\text{(A) El valor de } \cos(12^\circ) + \cos(84^\circ) + \cos(156^\circ) + \cos(132^\circ) \text{ es} & \text{(P) } 0 \\
\text{(B) El valor de } 2 \tan\left(\frac{\pi}{10}\right) + 3 \sec\left(\frac{\pi}{10}\right) - 4 \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) \text{ es} & \text{(Q) } 1 \\
\text{(C) El valor de } \sqrt{3} \cot(20^\circ) - 4 \cos(20^\circ) \text{ es} & \text{(R) } 2 \\
\text{(D) El valor de } \tan(20^\circ) + 2 \tan(50^\circ) - \tan(70^\circ) \text{ es} & \text{(S) } -1/2 \\
& \text{(T) } -1
\end{array}
\begin{array}{ll}
Columna I & Columna II \\
\text{(A) El valor de } \cos(12^\circ) + \cos(84^\circ) + \cos(156^\circ) + \cos(132^\circ) \text{ es} & \text{(P) } 0 \\
\text{(B) El valor de } 2 \tan\left(\frac{\pi}{10}\right) + 3 \sec\left(\frac{\pi}{10}\right) - 4 \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) \text{ es} & \text{(Q) } 1 \\
\text{(C) El valor de } \sqrt{3} \cot(20^\circ) - 4 \cos(20^\circ) \text{ es} & \text{(R) } 2 \\
\text{(D) El valor de } \tan(20^\circ) + 2 \tan(50^\circ) - \tan(70^\circ) \text{ es} & \text{(S) } -1/2 \\
& \text{(T) } -1
\end{array}
Solución Paso a Paso
Analizamos cada inciso aplicando identidades de suma a producto y relaciones fundamentales:
(A) Agrupamos términos convenientemente:
$S = (\cos 132^\circ + \cos 12^\circ) + (\cos 156^\circ + \cos 84^\circ)$
Usando $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$:
$S = 2 \cos(72^\circ) \cos(60^\circ) + 2 \cos(120^\circ) \cos(36^\circ)$
Como $\cos 60^\circ = 1/2$ y $\cos 120^\circ = -1/2$:
$S = \cos(72^\circ) - \cos(36^\circ)$
Usando valores notables $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ y $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:
$S = \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = -\frac{2}{4} = -1/2$
Resultado: (A) $\rightarrow$ (S)
(B) Sea $\theta = \frac{\pi}{10} = 18^\circ$. La expresión es $2 \tan \theta + 3 \sec \theta - 4 \cos \theta$:
$\frac{2 \sin \theta + 3 - 4 \cos^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{2 \sin \theta + 3 - 4(1 - \sin^2 \theta)}{\cos \theta} = \frac{4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - 1}{\cos \theta}$
Sabemos que $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$. Al sustituir, el numerador resulta en $0$.
Resultado: (B) $\rightarrow$ (P)
(C) $\sqrt{3} \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} - 4 \cos 20^\circ = \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - 4 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \sin 40^\circ)}{\sin 20^\circ}$
$= \frac{2(\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \sin 40^\circ)}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ - 2 \sin 40^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ - \sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}$
$= \frac{2 \cos 60^\circ \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 2(1/2) = 1$
Resultado: (C) $\rightarrow$ (Q)
(D) $\tan 20^\circ - \tan 70^\circ + 2 \tan 50^\circ$. Como $\tan 70^\circ = \cot 20^\circ$:
$\tan 20^\circ - \cot 20^\circ = \frac{\sin^2 20^\circ - \cos^2 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} = \frac{-\cos 40^\circ}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = -2 \cot 40^\circ$
Entonces: $-2 \cot 40^\circ + 2 \tan 50^\circ = -2 \cot 40^\circ + 2 \cot 40^\circ = 0$
Resultado: (D) $\rightarrow$ (P)
$$ \boxed{(A)-(S), (B)-(P), (C)-(Q), (D)-(P)} $$
(A) Agrupamos términos convenientemente:
$S = (\cos 132^\circ + \cos 12^\circ) + (\cos 156^\circ + \cos 84^\circ)$
Usando $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$:
$S = 2 \cos(72^\circ) \cos(60^\circ) + 2 \cos(120^\circ) \cos(36^\circ)$
Como $\cos 60^\circ = 1/2$ y $\cos 120^\circ = -1/2$:
$S = \cos(72^\circ) - \cos(36^\circ)$
Usando valores notables $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ y $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:
$S = \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = -\frac{2}{4} = -1/2$
Resultado: (A) $\rightarrow$ (S)
(B) Sea $\theta = \frac{\pi}{10} = 18^\circ$. La expresión es $2 \tan \theta + 3 \sec \theta - 4 \cos \theta$:
$\frac{2 \sin \theta + 3 - 4 \cos^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{2 \sin \theta + 3 - 4(1 - \sin^2 \theta)}{\cos \theta} = \frac{4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - 1}{\cos \theta}$
Sabemos que $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$. Al sustituir, el numerador resulta en $0$.
Resultado: (B) $\rightarrow$ (P)
(C) $\sqrt{3} \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} - 4 \cos 20^\circ = \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - 4 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \sin 40^\circ)}{\sin 20^\circ}$
$= \frac{2(\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \sin 40^\circ)}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ - 2 \sin 40^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ - \sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}$
$= \frac{2 \cos 60^\circ \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 2(1/2) = 1$
Resultado: (C) $\rightarrow$ (Q)
(D) $\tan 20^\circ - \tan 70^\circ + 2 \tan 50^\circ$. Como $\tan 70^\circ = \cot 20^\circ$:
$\tan 20^\circ - \cot 20^\circ = \frac{\sin^2 20^\circ - \cos^2 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} = \frac{-\cos 40^\circ}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = -2 \cot 40^\circ$
Entonces: $-2 \cot 40^\circ + 2 \tan 50^\circ = -2 \cot 40^\circ + 2 \cot 40^\circ = 0$
Resultado: (D) $\rightarrow$ (P)
$$ \boxed{(A)-(S), (B)-(P), (C)-(Q), (D)-(P)} $$