1. Datos y definiciones:
Sean los ángulos:

• $\alpha = \arcsin \frac{7}{25}$
• $\beta = \arccos \frac{7}{25}$

Debemos demostrar que $\alpha + \frac{1}{2}\beta = \arccos \frac{3}{5}$.

2. Propiedades fundamentales:
Sabemos que para cualquier $x \in [-1, 1]$:
$$ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $$
Por lo tanto:
$$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \implies \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $$

3. Sustitución y desarrollo:
Sustituimos $\beta$ en el lado izquierdo de la ecuación original ($LI$):
$$ \begin{aligned} LI &= \alpha + \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \\ &= \alpha + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\alpha \\ &= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\alpha \end{aligned} $$
Sea $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\alpha$. Aplicamos la función coseno a ambos lados:
$$ \cos(\theta) = \cos\left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\alpha \right) $$
Usando la identidad de la suma de ángulos $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$:
$$ \cos(\theta) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right) $$

4. Cálculo de funciones de mitad de ángulo:
Como $\sin \alpha = \frac{7}{25}$ y $\alpha$ está en el primer cuadrante, entonces $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = \frac{24}{25}$.
Utilizamos las fórmulas:
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} $$
$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} $$

5. Verificación final:
$$ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{7}{5\sqrt{2}} - \frac{1}{5\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{6}{5\sqrt{2}} \right) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$
Como $\cos(\theta) = \frac{3}{5}$, entonces $\theta = \arccos \frac{3}{5}$.

$$ \boxed{\arcsin \frac{7}{25} + \frac{1}{2} \arccos \frac{7}{25} = \arccos \frac{3}{5}} $$