1. Identificación de los ángulos:
Los ángulos para $r=1, 2, 3$ son:
$\theta_1 = \frac{\pi}{7}, \theta_2 = \frac{3\pi}{7}, \theta_3 = \frac{5\pi}{7}$.

2. Propiedad de las raíces:
Consideremos la ecuación $\tan(7\theta) = 0$. Expandiendo mediante la fórmula de De Moivre:
$\tan(7\theta) = \frac{\binom{7}{1}\tan \theta - \binom{7}{3}\tan^3 \theta + \binom{7}{5}\tan^5 \theta - \binom{7}{7}\tan^7 \theta}{1 - \binom{7}{2}\tan^2 \theta + \binom{7}{4}\tan^4 \theta - \binom{7}{6}\tan^6 \theta} = 0$
Las raíces de $\tan(7\theta) = 0$ (excluyendo $k\pi$) para $\theta = \frac{k\pi}{7}$ con $k=1,2,3,4,5,6$ dan los valores de $\tan \theta$.
Si definimos $t = \tan^2 \theta$, los valores $t_1 = \tan^2 \frac{\pi}{7}, t_2 = \tan^2 \frac{2\pi}{7}, t_3 = \tan^2 \frac{3\pi}{7}$ son raíces de la ecuación obtenida del numerador:
$7t - 35t^2 + 21t^3 - t^4 = 0 \implies t^3 - 21t^2 + 35t - 7 = 0$ (notar que $\tan^2 \frac{5\pi}{7} = \tan^2 \frac{2\pi}{7}$ y $\tan^2 \frac{4\pi}{7} = \tan^2 \frac{3\pi}{7}$).
Sin embargo, para los ángulos del problema: $\frac{\pi}{7}, \frac{3\pi}{7}, \frac{5\pi}{7}$, sus cuadrados de tangente son precisamente las raíces de $t^3 - 21t^2 + 35t - 7 = 0$.

3. Suma de tangentes y cotangentes:
Sea $S_1 = \sum \tan^2 \theta_r$ y $S_2 = \sum \cot^2 \theta_r$.
De la ecuación $t^3 - 21t^2 + 35t - 7 = 0$:

• $S_1 = t_1 + t_2 + t_3 = 21$


• Para las cotangentes ($c = 1/t$), la ecuación es $7c^3 - 35c^2 + 21c - 1 = 0$.


• $S_2 = c_1 + c_2 + c_3 = \frac{35}{7} = 5$

4. Cálculo final:
$$ S_1 \times S_2 = 21 \times 5 = 105 $$
$$ \boxed{105} $$
La respuesta correcta es la (b).