1. Datos del problema:
Dada la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$, identificamos los coeficientes:
$a = 1$, $b = (1 - \sin \theta)$, $c = -\frac{1}{2}\cos^2 \theta$.

2. Propiedades de las raíces (Relaciones de Vieta):
Para una ecuación cuadrática, se cumple que:
$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(1 - \sin \theta) = \sin \theta - 1 $$
$$ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}\cos^2 \theta $$

3. Desarrollo paso a paso:
Queremos maximizar la expresión $S = x_1^2 + x_2^2$. Usando productos notables:
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$
Sustituimos los valores obtenidos de Vieta:
$$ S = (\sin \theta - 1)^2 - 2\left( -\frac{1}{2}\cos^2 \theta \right) $$
$$ S = \sin^2 \theta - 2\sin \theta + 1 + \cos^2 \theta $$
Aplicamos la identidad fundamental $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$$ S = 1 - 2\sin \theta + 1 = 2 - 2\sin \theta $$

4. Análisis del valor máximo:
Sabemos que para cualquier ángulo real $\theta$, el rango de la función seno es $-1 \le \sin \theta \le 1$.
Para que $S = 2 - 2\sin \theta$ sea máximo, el valor de $\sin \theta$ debe ser el mínimo posible:
$$ \sin \theta = -1 $$
Sustituyendo:
$$ S_{\max} = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4 $$

$$ \boxed{4} $$
La respuesta correcta es el inciso (d).