1. Identificación del problema:
Se busca el valor máximo de una combinación lineal de las funciones seno y coseno con el mismo argumento ($2x$).

2. Propiedad utilizada:
Para cualquier expresión de la forma $f(x) = A \sin \theta + B \cos \theta$, el valor máximo está dado por la relación:
$$ f_{max} = \sqrt{A^2 + B^2} $$
Esto se deriva de la identidad del ángulo compuesto, donde podemos escribir $A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin(\theta + \phi)$, siendo $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.

3. Desarrollo:
En la expresión dada $a \sin 2x + b \cos 2x$:

• $A = a$


• $B = b$


• $\theta = 2x$

Aplicando la fórmula del valor máximo:
$$ V_{máx} = \sqrt{a^2 + b^2} $$

4. Conclusión:
El valor máximo que puede alcanzar la función para cualquier valor real de $x$ es $\sqrt{a^2 + b^2}$.

$$ \boxed{\sqrt{a^2 + b^2}} $$
La respuesta correcta es el inciso (b).